图像边缘信息检测的一种有效方法

图像边缘信息检测的一种有效方法
路 延
（陕西职业技术学院, 西安,710100）
摘要：本文使用了一种新的后小波分析工具—Shearlets，利用它在高维情况下的多尺度性、方向敏感性等良好性质，对图像
边缘进行精确的定位，以及确定边缘的类型。在此图像边缘检测过程中，用K-means 聚类算法确定了边缘点和边缘的类型。最
后进行实验，结果表明用Shearlets 做图像边缘检测可以获得较好的效果。
关键词：图像边缘检测; 小波变换;Shearlets;K-means 聚类算法
An effective method for edge information detecting
Lu Yan
(shaanxi vocational & technical college,xi’an 710100,china)
Abstract ：This paper uses a new post wavelet analysis tool - Shearlets,whose good nature is multi-scale
and directional sensitivity in the high dimensional case,to accurately position the image edge,as well as
determine the edge type.In the image edge detection process,the type of edge points and edge was determined
by using the K-means clustering algorithm.Finally,the experimental results show that,using Shearlets to do
the image edge detection can obtain good results.
Keywords ：Image edge detection;Wavelet transform;Shearlets;K-means clustering algorithm
0 引言
在图像处理中图像的边缘信息作用非常大，如运动检测、目
标识别、图像增强、图像压缩等。图像边缘检测主要涉及到边缘的
定位和边缘类型的确定。图像边缘检测的方法主要有：检测梯度
的极大值，检测二阶导数的零交叉点，小波多尺度边缘检测。
小波用于图像边缘检测是研究非平稳信号的有力工具，可以
大幅度提高计算效率，而且能够降低对噪声的敏感性。对于分段
连续的一维信号，可以用小波对其进行最优的稀疏逼近，但是经
典小波仅能很好地处理点状奇异性。
在高维空间中，存在更复杂的奇异性，图像边缘就属于这种
奇异性。小波不能对其进行最优的稀疏逼近，并且不能很好的获
得信号的各种信息。而且，由于小波在高维上具有各向同性的性
质，对于图像中的边缘等信息，小波变换不能获得边缘精确的方
向信息。
Shearlets 具有诸多方面的优越性，除了具有方向敏感性和
最优逼近性，还能和多分辨分析联系在一起。与其它的后小波相
比，Shearlet 框架是由一个母小波伸缩、剪切、平移生成的，具
有多尺度性质。本文将讨论基于Shearlets 的图像边缘检测。充
分利用Shearlets 的方向敏感性，从而获得边缘的方向信息，达
到精确检测图像边缘的目的。
1 Shearlets 的离散化及其一般算法
为了能够在便于计算机实现，先对连续Shearlet 进行离散
化。
令尺度，且
。同时为了方便分析表示，把频域平面分成水平锥和垂直锥两个
区域，用类似的方式来不同区域的函数。那么，水平方向的离散
Shearlets 函数形式为
,
其中， , 分别是剪切矩阵和各向异性
膨胀矩阵。
而且满足，
则函数集合形成区
域的一个剖分。用图1(a) 显
现表示出来。
同理，在竖直方向上，构造第二个离散Shearlets
集合，使得集合形
成区域的一个剖分( 同样见图
1(a))。

图1 (a)Shearlets 诱导的频域剖分。
shearlet 的频域支撑满足抛物线尺度化。
最后，令满足使得集合
是上的紧框架。有如下定理：在上，集合
是一个紧框架。
上述定理表明此分解是可逆的，而且此变换的数值化效果良
好。
对于Shearlets 的一般算法，参见文献[4]。总结步骤如下：
假设图像，
(1) 在上应用Laplacian 金字塔算法，将它分解为低
通图像和高通图像. 对于，矩阵
，其中。
(2) 在伪极格上计算，得到矩阵。
(3) 在矩阵上应用带通滤波。
(4) 重新转化到笛卡尔坐标系中进行取样，做二维逆快速
Fourier 变换. 或者直接应用逆伪极格离散Fourier 变换。
2 基于Shearlets 做图像边缘检测的方法
对于图像边缘，Shearlets 就可以很好的检测出边缘点，以
及边缘的方向。用Shearlets 做图像处理，总结为以下步骤：
(1) 令为固定的( 细) 尺度。对图像做Shearlet 变
换，求得图像的Shearlets 系数( 注：为了使得表
示方法更加简单，把水平和垂直方向上的变换( ) 重新
标记其方向指标如下：
这样， 的
取值就为) ；
注意到，每个做了Shearlet 变换后的点的
Shearlets 系数都是一组数据, 不妨它记作是一个向量
。为了判别出边缘点，定义能
量函数，把使得能量函数很大的点
作为边缘点。为此，用K-means 聚类算法把图像点依据能量函数
分为三类： 。其中，
这样， 就是边缘点的集合， 是正常点的集合， 是临近边
缘点的点的集合。
对于检测出来的边缘点( 即中的一个点)，进一步分
析判别其类型是一般边缘点，或者角状边缘点(corners)，还
是交叉型边缘点(junction points)。对于每一个边缘点，令
, 其中是在方向指标1 下
的标准化峰值，即
， 且是使
离散Shearlet 变换的局部最大的方向指标集合：
对于中的一个点, 从新排列向量的顺序
为, 其中
, 等等。然后，在集合上重新
使用K-means 聚类算法。于是此集合就被进一步的分为三类：
, , . 其中是含有一个峰值的点的集合， 是含有两个
峰值的点的集合， 是含有三个或三个以上峰值的点的集合。那
么, , , 中的边缘点类型分别为一般边缘点、角状边缘
点、交叉型边缘点。
至此，已经检测出了边缘点，也进一步的判断出了边缘点的
类型。
3 实验结果
用Lena 图做了实验, 分别用Sobel、Wavelet 和
Shearlets 进行边缘检测，结果如下图2 ：
图2 分别用Sobel、Wavelet 和Shearlets 对Lena 图进行
边缘检测
实验结果表明，基于Shearlets 的图像边缘检测效果比其它
方法更好。
参考文献
[1] D.Ziou,S.Tabbone.Edge detection techniques-an
overview[J].Pattern Recog.Image Anal.,1998:537-559.
[2] ( 美) 冈萨雷斯(Gonzalez,R. C.) 等著, 阮秋琦, 阮宇
智等译. 数字图象处理( 第二版)[M]. 电子工业出版社,
2007: 460-474.
[3] F.J.Canny.A computational approach to edge
detection[J].IEEE Trans.Pattern Anal.Machine
Intell.,1986,8:679-698.
[4] G.R. Easley,D.Labate,W.-Q.Lim.Optimally sparse image
representations using shearlets[J].Signals, Systems
and Computers, 2006.
[5] K.Guo,W.-Q.Lim,D.Labate,G.Weiss and E.Wilson.
Wavelets with composite dilations and their MRA
properties[J].Appl.Computat.Harmon.Anal.2006,20:
231-249.