圆锥曲线例题分析
圆锥曲线例题分析
粟明浩
（山南地区职业技术学校，西藏 山南 856000）
摘 要：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学重要的知识点，是高考必考的内容之一。圆锥曲线方程及其图像和可以与直线或者其他几何图形发生复杂的联系，从而产生出众多的题目。在本篇论文中，作者精心挑选了几个经典的圆锥曲线与直线相结合的题目进行分析和总结，希望能够帮助高中生们认清本质、理清头绪，从而做到举一反三，全面掌握圆锥曲线的相关知识。
关键词：圆锥；曲线；例题
一、直线与双曲线的结合
例1、已知动点P与双曲线（x2/2）-（y2/3）=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值-1/9。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知点D（0，3），点M,N在动点P的轨迹上，且DM=λDN，求实数λ的取值范围；
解析：首先根据题目给出的线索画出双曲线的示意图，如下图
本题考察了双曲线的焦点的求法，同时这两个焦点与动点P联系在一起考察了椭圆的一个重要性质，即椭圆上的任意一点到达两焦点的距离和为定值，由于题目中的线索cos∠F1PF2的最小值-1/9，可以带入方程计算出椭圆中的未知数，这时题目（1）的本质就变成了已知两焦点求解椭圆方程。由题目（2）本身可知，D、M和N三个点在一条直线上，可将这条直线的方程假设出来，题目（2）的实质就变成了直线与椭圆相交的问题。该题目的解法如下：、
解：（1）由题意知，动点P的轨迹为一个椭圆，该椭圆与双曲线共焦点，所以可以假设该椭圆方程为(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)。已知两个焦点分别为F1(- ,0)和F2( ,0)。设篇（x0,，y0），则cos∠F1PF2=【y02+（x0+ ）2+y02+（xo- ）2-4*5】/2（x02-5）=（y02+x02-5)/(x02-5)=(5/a2)【1+（14-a2）/（x02-5）】。因此，当x02=0时，cos∠F1PF2取最小值，即（2a2-4*5）/2a2=-1/9，解之，得：a2=9，则b2=4，所以椭圆的方程为a2/9+b2/4=1。
（2）由DM=λDN可知，D、M、N三点共线 ，已知D点坐标为（0,3），如果这条直线斜率不存在，则λ=1/5或者λ=5，如果斜率存在，可设直线方程为如果y=kx+3，与椭圆方程联立得方程组
y=kx+3，
a2/9+b2/4=1，因此，可得方程（9k2+4）x2+54kx+45=0,判断Δ=（54k）2-4*45（9k2+4）≥0，所以k2≥5/9。
设M、N两点的坐标分别为M（x1,y1）、N（x2,y2），x1和x2为方程的两个解，则x1+x2=-54k/（9k2+4），x1x2=45/（9k2+4）。
由于DM=λDN，则x1=λx2，所以x1=-54k/【（1+λ）9k2+4】，x2=-54kλ/【（1+λ）9k2+4】，所以x1x2=45/（9k2+4），所以λ/(1+λ)2=(5/324)(9+4/k2)。由于k2≥5/9，所以5/36<λ/(1+λ)2<1/4,所以1/5<λ<5且λ≠5或1/5，综上，1/5≤λ≤5。
点评：一圆锥曲线为背景，求取未知数的取值范围，或求取不等式的解等，是常用的考试方法，通常需要运用待定系数和设系数列方程的方法进行求解。
二、直线与椭圆的结合
例2（2013年高考山东卷）、椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，离心率为 /2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长度为1。
（I）求椭圆的方程
（II）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于M(m,0)，求m的取值范围；
解析：题目（I）求椭圆方程，涉及到了椭圆三个参数之间的关系和离心率的概念；题目（II）是角的平分线与椭圆的相交问题，与例2中的题目（2）相似。
解：（I）已知椭圆离心率为 /2,所以，c/a= /2,由于过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长度为1，所以2b2/a=1,已知a2=b2+c2，解之，得a2,b=1，所以方程为x2/4+y2=1
（II）设PF1=t，由题意知2- ≤t≤2+ ，在三角形F1MP中，由正弦定理，得
（sin∠PMF1/t)=【sin∠PMF1/(m+ )】,同理，在三角形F2MP中，
【sin∠PMF2/（4-t)】=（sin∠PMF2/ ），且∠MPF1=∠MPF2，∠MPF1+∠MPF2=π，所以m=(1/4)(2 t-4 ),所以-3/2≤m≤3/2。
点评：椭圆与直线相互联系是中学数学的一个重点内容，在求解这部分的题目时，要首先弄清楚椭圆本身的一些特殊性质，如三个参数的关系、与圆的异同点以及一些重要的推论。运用这些推论，可以使题目简单化，有时可以用纯几何的方法解决重要的问题。
总结：在本文中，作者分别对三种圆锥曲线与直线的结合问题进行了举例分析。三个例题中有两个经典模拟题和一个高考的真题。圆锥曲线是高中数学的重点和难点内容，需要广大高中生能够认真学习，认清概念、理清头绪，掌握解题的一般思路，举一反三。同时，认真总结圆锥曲线的一些特殊性质和重要推论也十分重要，可以起到事半功倍的效果。
