欧阳型积分不等式与应用
欧阳型积分不等式与应用
李 永
（沭阳高级中学，江苏 宿迁 223360）
摘 要：对欧阳不等式作进一步的推广，给出一个更广泛的Ou-Iang型非线性不等式，并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。
关键词：欧阳型；积分不等式；有界性
众所周知积分不等式在讨论微分方程解的有界性，稳定性和渐进性时候时起着重要的作用，正因为如此，关于积分不等式的研究很多。文献[1]给出了一个新颖的积分不等式，文献[2]又给出了欧阳不等式一系列的推广。同样文[3-6]进一步研究了欧阳不等式，给出了如下的结论。
引理 设 是严格递增的， 是递增的；且 若对于常数 ，有
(1)
则不等式
(2)
对一切 成立，这样的t保证
，
其中
本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式，所得结果推广和改进了已有的部分结果。
定义 设 ，如果 单调不减且当 时,有 ,称 属于函数类 .
1 主要结果
定理1 设 为 上的实值非负连续函数， 是实值非负连续函数， 单调不减，并且当 时， ： 单调不减且 次可乘。如果
（1）
则有
其中
对一切 成立，这样的 保证
其中 的定义同于引理。
证明 定义(1)式右端为 ,则 是单调不减的函数，且 。
(2)
对任意正数 ,定义
(3)
则(2)式变为
(4)
因 且单调递增，上式两边同时除以 得
定义
(5)
则
(6)
且
定义
(7)
则
(8)
且
有
对上式两边作0到 的积分可得
将上式带入(8)式，且作0到 的积分可得
由上式与(6)式可得
(9)
利用 的性质，可得
(10)
由 的定义，对 微分得
(11)
联合(10)和(11)式，可得
则有
对上式两边作0到 的积分，可得
(12)
联合(9)式和(12)式,可得
令 即得定理1的结论。
注1 如果 单调递增，则对(9)式就可以结合引理与文 中的推论1得出所需结论，在此不作证明。同时需要指出，如果 ，则定理包含了文[2]中的相关定理以及推论。
2 应用
考虑微分方程
(13)
其中 都是连续函数。在此我们假设
(14)
其中
现对(13)式两边同时乘以 ，并作0到t的积分可得
由假设条件可得
(15)
直接利用定理,化简可得
其中
参考文献：
[1]欧阳亮.线性微分方程 解的有界性[J].数学进展,1957,(3):409-415.
[2]高庆龄,王建国.欧阳不等式的推广及应用[J].山东大学学报(理学版),2008，43(2):72-76
[3]温玉珍,曹丽霞,吕亚峰.Oyang型非线性积分不等式的推广[J].曲阜师范大学学报,2005,31(2):34-38
[4] 徐衍聪,夏国防.时滞积分不等式及应用[J].曲阜师范大学学报,2005,31(1):15-18
[5] Fozi M.DANNAN.Integral Inequalities of Gronwall-Beiiman-Bihair Type and Asymptotic Behavior of Certain Second
Order Nonlinear Differential Equations.JIURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS .1985,108:151-164
[6] Pachpatte B G.On Some new inequalities related to Certain inequalities in the theory
of differential equations[J] .J.Math.Anal .Appl,1995,189(1):128-144
