机械最优化设计及应用实例

摘. . 要：本文描述了最优化问题的基本概念、分类和通常的求解方法，介绍了最优化在机械设计中的位置以及最优化的设计思路，列举了最优化问题在机械设计中的应用实例。

关键词：最优化；科学技术；机械设计；

1 引言

多年来，机械设计人员在机械设计中大都是采用传统的设计方法、凭借经验、图表和类比的办法，借助有限的计算次数，得到有限的设计方案，然而确定出的设计结果却不能令人满意。如何使自己设计的结果能够获得公认最优，设计出的机械产品经济技术效果最佳，这是机械设计人员毕生的愿望，为此他们在设计中绞尽脑汁。

随着科学技术的发展、数学规划理论进一步完善以及计算机的普及、机械设计方法与技术能力渐趋提高，机械设计方法技术有了突破的跃进条件和可能。机械最优设计技术、计算机辅助设计、现代设计方法学等新型设计技术由此而生。这些新技术的应用，对加速机械产品的开发与应用、改变机械工业的面貌起到非常重要的作用。

1.1 最优化的基本概念

最优化设计是现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法 ［1］ 。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。

近年来，为了普及和推广应用优化技术，已经将各种优化计算程序组成使用十分方便的程序包，并已进展到建立最优化技术的专家系统，这种系统能帮助使用者自动选择算法，自动运算以及评价计算结果，用户只需很少的优化数学理论和程序知识，就可有效地解决实际优化问题。虽然如此，但最优化的理论和计算方法至今还未十分完善，有许多问题仍有待进一步研究探索。

1.2 最优化在机械设计中的位置

机械设计最优化和与其对应的新技术的研究领域正处于一个孕育和创新的阶段。机械最优设计技术是将数学规划理论、计算机技术和机械设计理论三者揉合在一起的。它既不同于传统的机械设计理论，也不同于机械优化设计，它特别强调了一个“最”字，是将机械设计问题通过数学模型的建立，转变为数学函数格式化，然后采用数学规划理论，有计算机寻求迭代确定设计问题的极值，其结果的唯一性充分体现了设计公认最优。

2 最优化问题的分类及其主要内容

随着计算机科学的发展和应用，应用最优化方法解决问题的领域在不断扩大，最优化的理论和方法也得到普及和发展。线性规划、非线性规划、整体规划、动态规划和多目标规划以及图与网络技术作为最优化方法的主要内容已经成为工程技术人员和经济管理人员所必备的基础知识。

2.1 最优化问题的设计思路

最优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化，设计上的“最优值”是指在一定条件（各种设计因素）影响下所能得到的最佳设计值。最优值是一个相对的概念。它不同于数学上的极值，但在很多情况下可以用最大值或最小值来表示。

2.1.1 最优化问题工作步骤

用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤 ［2］ ：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。上述 5 个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。

2.1.2 建立最优化模型的基本要素

最优化模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素：①变量：

指最优化问题中待确定的某些量。变量可用 x ＝ (x1，x2，…，xn)T表示。②约束条件：指在求最优解时对变量的某些限制 , 包括技术上的约束、资源上的约束和时间上的约束等。列出的约束条件越接近实际系统，则所求得的系统最优解也就越接近实际最优解。约束条件可用 gi(x) ≤ 0 表示 i ＝ 1,2，…，m，m 表示约束条件数；或 x ∈ R(R 表示可行集合 )。③目标函数：最优化有一定的评价标准。目标函数就是这种标准的数学描述，一般可用 f(x) 来表示，即 f(x)=f(x1，x2,…,xn)。目标函数可以是系统功能的函数或费用的函数。它必须在满足规定的约束条件下达到最大或最小。

2.2 求解最优化问题的常用方法

最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。①解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化。②直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。③数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法。④其他方法：如网络最优化方法等。

2.3 最优化在机械设计中的应用实例

保定职业技术学院黄仕君 , 张东升 ［3］ 将多目标最优化技术中的分层序列法应用于机械刨床设计，其步骤是：先建立寻优数学模型，找出设计变量、目标函数和约束条件，通过迭代得到最优解。利用此方法进行设计，关键在于将各分目标函数按其重要程度排序，逐次求出最优解，既简化了求解过程，又保证了求解精度。

长江大学张云华

［4］

以斜齿轮体积和传动平稳可靠性为目标函数，

建立了斜齿圆柱齿轮传动的多目标优化设计数学模型。将 LINGO9.0优化算法应用于机械工程的优化设计中，提出了 LINGO 算法的优化原理及数学模型的建立，给出求解的方法。对减小体积和提高传动平稳可靠性两个目标进行了联合优化，在满足强度、传动平稳性等方面寻求最优化齿轮配置。

石家庄铁道学院尚艳亮 ［5］ 等采用数学最优化理论，结合现行设计规范，对钢筋混凝土矩形梁在极限强度状态下进行研究。提供一个设计空间曲面作为最小成本设计时选用最优化配筋比的依据。求得梁断面的最优配筋比及其相对应断面有效高度，以使得梁体成本最小。

中北大学陈新汝［6］在齿轮减速器优化设计目标函数建立、设计变量选取和约束条件确定的基础上，建立其优化设计数学模型，利用 MATLAB 的优化工具箱对齿轮减速器进行优化设计，并通过实例与常规设计结果进行了分析。优化结果表明采用 MATLAB 算法求解优化设计问题，算法有效可靠且优于常规设计。

2.4 结论

从目前来看，最优化问题越来越多的吸引着研究人员和软件开发人员的注意力。设计人员设计新的快速、高效的最优化问题的算法，研制相应的辅助软件，并且用其解决工程技术种关于最优化问题的各种实际问题。但是这些往往不能满足实际的需要，最优化问题在实际问题中的应用还有很大的发展空间。

参考文献：

［1］范鸣玉 张 莹 . 最 优 化 技 术 [M]. 北 京：清 华大 学出版 社,1982.156-172.

［2］孟兆明 常德功 . 机械最优设计技术 [M]. 北京：化学工业出版社,2001.156-163.

［3］黄仕君 , 张东升 . 多目标最优化技术在刨床设计中的应用 [J] 机械设计 ,2004,25(3):28-30.

［4］张云华 . 齿轮减速器的最优化设计 [J] 机械工程与自动化,2008,11:80-82.

［5］尚艳亮 , 聂辉 , 赵军华 . 钢筋混凝土矩形梁最小成本设计曲面研究 [J] 工业技术 ,2009,22(3):108-111.

［6］陈新汝 . 基于 LINGO 的斜齿轮最优化设计 [J] 机械工程与自动化 ,2010,1:113-114.