具有范围限制的k个整数解问题

具有范围限制的k个整数解问题

○云南大学附属中学 云南昆明 650031

王 浩

摘要：初中数学以一元一次不等式组及其解集为载体的问题较多， 本文探讨了三类具有范围限制的k(k 为常数) 个整数解问题，分别是(1) m<ax+b<n、(2) 、(3) (a,b 为常数，且a ≠ 0) , 并依次给出了三个问题中的参数m、n 需满足的关系式。

关键词：初中数学；一元一次不等式组；整数解；解集

求一元一次不等式组的解集（或解）是初中数学的重点，以一元一次不等式组及其解集为载体的问题较多，难度大。本文以一次不等式组及其解集为载体，探讨了三类具有范围限制的整数解问题，并给出了相应的参数需满足的条件。

下面，我们来看三个问题：

问题1 ：若关于x 的一元一次不等式组m<ax+b<n(a,b 为常数，且a ≠ 0) 的解集中恰含有k(k 为常数) 个整数解，问m,n 需满足什么条件？

分析：当a>0 时，一元一次不等式组m<ax+b<n 的解集为；

当a<0 时，一元一次不等式组m<ax+b<n 的解集为。

（1）当a>0 时 .

由图象可知，当a>0 时，要使不等式组的解集中恰有k(k 为常数) 个整数解，则可以取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

（2）当a<0 时

由图象可知，当a<0 时，要使不等式组的解集中恰有k(k 为常数) 个整数解，则可取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

问题2 ：若关于x 的一元一次不等式组m n(a,b 为常数，且a ≠ 0) 的解集中恰含有k(k 为常数) 个整数解，问m,n 需满足什么条件？

分析：当a>0 时，一元一次不等式组的解集为 ；

当a<0 时，一元一次不等式组的解集为。

（1）当a>0 时

由图象可知，当a>0 时，要使不等式组的解集中恰有k 个整数解，则可以取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

（2）当a<0 时

由图象可知，当a<0 时，要使不等式组的解集中恰有k 个整数解，则可以取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

问题3 ：若关于x 的一元一次不等式组(a,b 为常数，且a ≠ 0) 的解集中恰含有k(k 为常数) 个整数解，问m,n 需满足什么条件？

分析：当a>0 时，不等式组的解集为；

当a<0 时，不等式组的解集为。

（1）当a>0 时

由图象可知，当a>0 时，要使不等式组的解集中恰有k 个整数解，则可以取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

（2）当a<0 时

由图象可知，当a<0 时，要使不等式组的解集中恰有k 个整数解，则可以取左边红色区域内的值， 可取右边红色区域内的值，此时需满足

解之得

参考文献:

[1] 义务教育课程标准实验教科书. 数学. 八年级上册. 人民教育出版社.

[2] （美）波利亚著.刘景麟，曹之江，邹清莲译.数学的发现（第一卷） [M]. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.

[3] 义务教育课程标准实验教科书. 数学. 八年级上册. 北师大出版社.

[4] 义务教育课程标准实验教科书. 数学. 八年级上册. 华东师大出版社.

( 作者简介: 王浩，云南大学基础数学专业毕业，硕士研究生，云大附中数学教师，四年教龄。) 98