集巧用一次函数的图象求一元一次不等式（组）的解
巧用一次函数的图象求一元一次不等式（组）的解集
王彩珍
○昆明长城中学 云南昆明 650222
摘要：本文通过三个活动，依次建立了三个数学模型（1）kx+b>m， （2）m<kx+b<n （m、n 为常数），（3）k1x+b1>k2x+b2，以及如何巧用一次函数的图象求以上一元一次不等式（组）的解集，具体方法是：（1）求一元一次不等式kx+b>m(m 为一常数) 的解集，只需确定直线y=kx+b 在直线y=m的上方的图象所对应的x值；（2）求一元一次不等式组m<kx+b<n （m、n 为常数）的解集，只需确定直线y=kx+b 在直线y=m 上方与在直线y=n
下方的图象所对应的x 值；（3）求一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集， 只需确定直线y1=k1x+b1 在直线y2=k2x+b2 上方的图象所对应的x 值。
关键词：数学模型；一元一次不等式（组）；一次函数的图象；解集
用函数的观点看方程（组）、不等式（组），理解函数与方程（组）、不等式（组）之间关系的本质所在，是学生初次接触的一种数学思想——“数形结合”，它形象、直观。要求学生掌握“数形结合”的思想，对今后的数学学习有很大的帮助。
下面，我们来看三个活动：
活动1: 利用一次函数y=2x+8 的图象，你能求出一元一次不等式（1） 2x+8>0、（2）2x+8<6
的解集吗？
分析：
（1）一次函数y=2x+8
的图象从左向右依次经过第三、二、一象限，且与x 轴（直线y=0）交于点(-4,0), 与y 轴交于点(0,8)。
当x=-4 时，图象在x 轴上，此时函数值y=0;
当x>-4 时，图象在x 轴的上方，此时函数值y>0;
当x<-4 时，图象在x 轴的下方，此时函数值y<0.
一次函数y=2x+8 在x 轴（直线y=0）上方、下方的图象，以及相应的不等式的解集如图所示：
（2）一次函数y=2x+8
的图象与直线y=6 的交点坐标为(-1,6)。
当x=-1 时，图象在直线y=6 上，此时函数值y=6;
当x>-1 时，图象在直线y=6 的上方，此时函数值y>6;
当x<-1 时，图象在直线y=6 的下方，此时函数值y<6.
一次函数y=2x+8 在直线y=6 上方、下方的图象，以及相应的不等式的解集如图所示：
上面的活动1，其实是利用一次函数y=kx+b（k ≠ 0，b 为常数）的图象，求一元一次不等式kx+b>m( 或kx+b<m)(m 为一常数) 的解集，只需确定直线y=kx+b 在直线y=m 的上方（或下方）的图象所对应的x 值。
活动2: 利用一次函数y=2x+8 的图象，你能求出一元一次不等式组 0<2x+8<6 的解集吗？
分析：
一次函数y=2x+8 的图象与x 轴（直线y=0）、直线y=6 分别交于点（-4,0）、(-1,6)。
当x>-1 时，一次函数的图象既在x 轴（直线y=0）的上方，又在直线y=6 的上方；
当-4<x<-1 时，一次函数的图象在x
轴（直线y=0）的上方， 且在直线y=6 的下方；
当x<-4 时，一次函数的图象既在直线y=6
的下方，又在x 轴（直线y=0）的下方。
一次函数的图象在x 轴（直线y=0）的上方，且在直线y=6 的下方的图象，以及不等式组0<2x+8<6 的解集如下图所示：
上面的活动2，其实是利用一次函数y=kx+b（k ≠ 0，b 为常数）的图象，求一元一次不等式组m<kx+b<n（m、n 为常数）的解集，
只需确定直线y=kx+b 在直线y=m 上方与在直线y=n 下方的图象所对应的x 值。
活动3: 利用画函数图象的方法，你能解不等式5x+4<2x+10
吗？
分析：
方法一：将不等式5x+4<2x+10 转化为3x-6<0，画出直线y=3x-6 的图象观察求解。
方法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，分别画出它们的图象，再比较直线上点的位置的高低。
上面的活动3，其实是利用一次函数y1=k1x+b1 （k1 ≠ 0，b1 为常数）与y2=k2x+b2(k2 ≠ 0,b2 为常数) 的图象，求一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集，只需确定直线y1=k1x+b1
在直线y2=k2x+b2 上方的图象所对应的x 值。
参考文献:
[1] 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册
人民教育出版社.
[2]G. 波利亚著.
徐泓，冯承天译. 怎样解题[M]. 上海：上海科技出版社，2002.
[3] 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册
北师大出版社.
[4] 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册
华东师大出版社.
（作者简介: 王彩珍，云南大学基础数学专业毕业，硕士研究生，昆明长城中学数学教师，四年教龄。）
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