导数和积分在经济管理中的应用

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热度0票  浏览312次 时间：2020年3月23日 13:22

张占美 王 品 周丽佳

（陆军航空兵学院 北京市 101123 ）

摘 要：经济数学是经济中应用的数学，导数和积分是经济数学的重要组成部分，是经济管理的重要工具。文章运用导数和积分结合典型的经济模型和实际问题，分析了导数和积分在经济管理中的应用。

关键词：导数；积分；经济管理

导数和积分是经济数学的重要组成部分，经济数学是经济中应用的数学，是经济与数学相互交叉的一个新的跨学科领域。经济数学在经济管理中的应用越来越广泛，该学科是一门对经济管理系统进行定量分析与决策的应用学科，是应用分析、实验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行系统安排，为决策者提供有依据的最佳方案，以实现最有效的管理，取得最满意的经济效益。本文就导数和积分在经济管理中的应用作一初步讨论。

一、导数在经济管理中的应用

在数学上 , 导数的定义可以抽象概括为函数的增量与自变量的增量之比 , 当自变量的增量趋于零时的极限，记为 f '(x 0 ) 。在经济学上， f '(x 0 ) 实际上刻画了函数 y=f(x) 在 x 0 的变化率 , 当自变量 x 0 在处有一个单位的变化 , 则函数 y=f(x) 在 f(x 0 ) 处有 f '(x 0 ) 个单位的变化。在经济学中，也存在变化率的问题，如边际问题和弹性问题。下面将导数在这两方面的应用介绍如下：

1 、边际分析

边际分析是经济决策中的重要概念之一 , 边际分析方法就是利用导数去研究经济函数的边际变化率的方法。

1.1 边际成本

在经济学中 , 把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 , 边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。设某产品的成本函数为 C=C(q), q 为产量。根据定义 , 边际成本为 C(q+1)-C(q)= △ C(q), 由微分的定义 , 当 △ q 变化很小的时候 , △ q=dq ， △ C(q) ≈ dC(q)=C'(q) ， dq=C'(q) 。 C'(q) 为边际成本函数。可见 , 边际成本约等于成本函数的变化率 , 通过函数的一阶导数来衡量边际成本的函数值。其几何意义为 : 在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率 , 即总成本函数在该产量处的导数值。在经营管理中，际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。

例 1 ：某种产品的总成本 C （万元）与产量 q （万件）之间的函数关系式为： ，求生产水平为 q=20 （万件）时的

平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？

解：当 q=20 时的总成本为

( 万元 ) ，

平均成本为：

边际成本： 元 / 件。

因此在生产水平为 20 万件时，每增加一个产品，总成本增加 8 元，比当前的平均成本 9 元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

1.2 边际收入

与边际成本类似，边际收入定义为 R'(q), 即边际收入是总收入函数R(q) 关于销售量 q 的导数，其经济含义是：当销售量为 q 时，再销售一个单位（即 △ q=1 ）所增加的总收入 △ R(q) 。所以边际收入约等于收入函数的变化率。其几何意义为 : 每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率 , 即总收益曲线关于该销售量的导数值。

2 、弹性问题

在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化 1 个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示：

我们以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得。

设某一商品的需求函数为 x=f(p) ,p 为该商品的单价 ,x 为需求量。需求量对于单价的弹性为 , 需求函数往往

是一个减函数 , 即 f '(p)＜0 , 由此可以看出需求量的变化与价格的变化是反方向的。

例 2 ：某商品的需求函数为 求 : (1) ED （ p) ； (2)ED （ 4)计算 , 并解释所得结果。

解 : (1) 令 所求的需求对价格弹性为

（ 2 ） , 其含义为当商品的售价为 4 元时 , 若单价每增加 1 元 , 则需求量将减少 20%, 反之若单价每降低 1 元 , 则销售量将提高 20% 。

二、积分在经济管理中的应用

在数学上，导数和微分是两个互逆的运算过程，在经济学上函数的导数 f '(x) 是经济量函数 y=f(x) 的边际函数，边际概念是经济学中的一个重要概念，若已知边际函数 f '(x) ，由积分，可求得原经济函数。由不定积分求得经济函数 ，其中积分常数 C 可由函数的具体条件确定。也可用定积分求得经济函数 ，其中 f(0) 由具体的经济函数的经济意义确定。

在经济分析中，我们常用积分来求经济总量及变动值 , 并通过对经济总量变动值的综合对比分析，对企业的经营决策做出正确调整。

例 3 ：某产品的边际成本为 （万元 / 吨），固定成本 C（ 0 ） =5 万元，边际收入为 R'(x)=12-x( 万元 / 吨 ) ，求：

（ 1 ）获得最大利润时的产量及最大利润；

（ 2 ）最大利润时再生产 1 吨 , 总利润将如何变化 ?

解： （ 1 ）总成本函数为

总收益函数为

总利润 = 总收益 - 总成本

总利润

∵ 驻点唯一且利润有最大值。

∴ 唯一驻点 x=4 必定是最大值点。

∴ 产量 x=4 吨时利润最大，最大利润：

（ 2 ）产量由 4 吨增加到 5 吨 , 总利润的增加量为：

∴ 利润最大时，产量增加 1 吨 , 总利润反而减少 0.75 万元。

因此，在经济工作中，企业增加产量并不意味着增加利润，只有合理安排生产量 , 才能使企业获得最大利润。

随着金融市场和现代企业制度的建立，导数和积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域。经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，正如马克思所言“一门学科成功地运用数学工具的程度是衡量其发展阶段的标志。” ■参考文献

[1] 皮利利 . 经济应用数学 [M ]. 北京 : 机械工业出版社 ,2006.

[2] 高鸿业 . 西方经济学 [M ]. 北京 : 中国人民大学出版社 ,2001.

[3] 周晓晖 . 浅论导数在经济学中的应用 [ J ]. 科技信息 ,2008,(9).