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浅谈几何概型中几类常见题型的解决方法

热度0票浏览112次时间：2021年1月05日 14:45

马万里 / 大同市第一高级职业中学校

摘要：几何概型这一节内容的学习是在学习了古典概型这一部分内容后进行的，是在古典概型的基础上在对连续型变量的概率的求法进行探究，这一概念比较抽象 , 学生理解起来困难 , 遇到具体问题时容易出错。然而找准测度，是解决问题的关键。因此教师在教学中要针对一些具体题型分类进行讲解效果会更好，以下总结了几类常见的几何概型问题。

关键词：几何概型；长度；面积；体积

一、与长度有关的几何概型

【例 1】如图 , 在△ ABC 的边 AC 上任取一点 P, 求使△ ABP 的面积小于△ ABC 面积的一半的概率。

分析：△ ABP 与△ ABC 有相同的底 AB, 要使△ ABP 的面积小于△ ABC 面积的一半 , 只需点 P 到 AB 的距离小于点 C 到AB 距离的一半，这一问题的测度为长度。

过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D, 取 AC 的中点 M, 连接 BM,过点 M 作 ME ⊥ AB 于点 E, 则 ME= CD, 即 S △ ABM = S △ ABC ,所以当点 P 在线段 AM 上取时 ( 不取端点 A 与 M), 点 P 到 AB的距离小于 CD, 即△ ABP 的面积小于△ ABC 面积的一半 ,所以所求的概率为

二、与面积有关的几何概型

【例 2】如图 , 在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站 , 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源 , 基站工作正常 ). 若在该矩形区域内随机地选一地点 , 则该地点无信号的概率是 (　　)

故本题选 A

三、与体积有关的几何概型

【例 3】有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱 , 点 O为这个圆柱底面圆的圆心 , 在这个圆柱内随机取一点 P, 求点P 到点 O 的距离大于 1 的概率。

分析：先确定出点 P 所在的空间 , 并求出该空

间的体积,用它与圆柱的体积相除即得所求事件的概率。

圆柱的体积 V 圆柱 =π×12×2=2π, 以 O 为球心 ,1 为半径 , 且在圆柱内部的半球的体积

V 半球 =

故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为：

四、求会面问题中的概率

【例4】甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 , 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。