原函数存在问题之探讨与应用

原函数存在问题之探讨与应用
顾亚红
（无锡机电高等职业技术学校，江苏  无锡  214028）
摘  要：本文给出了原函数存在定理的证明, 同时结合积分的相关性质给出了原函数存在定理的应用.
关键词：原函数；导函数；存在性定理；应用

一、知识点
定义  若函数 在区间 可导,则  都存在（对应）唯一一个导数 .根据函数定义,  是区间 的函数,称为函数 在区间 的导函数.
定义  设函数 在区间 有定义, 存在函数 .若 ,有 ,  则称 为 在区间 上的原函数,或简称 是 的原函数.
定理  设 是区间 上的可积函数, 对于 , 令 ,则
(1) 若 在 上可积, 则 在 上连续.
(2) 若 在 上连续, 则 在 上可导, 且
 .
(3) 设 在 上连续,  ,  是可导函数,且 ,  , 则
 .
定理  若 在闭区间 连续, 则在 上至少存在一点 , 使
 .
定理  若 在 上不具介值性, 则 在 上一定不存在原函数.
定理  设函数 在区间 上有定义, 那么如果函数 在 上存在第一类间断点, 则 在区间 上不存在原函数.
定理  设 在 上连续, 则
 , 
在区间 上为 的一个原函数, 即 .

二、 定理证明
  上述定理在相应的文献中有详细的证明,我们利用新方法对定理4及定理5重新证明.
(1) 定理4的证明.
在证明此定理前我们需先证明预备定理.
预备定理 如果函数 在区间 上有导函数 , 则 在区间 上不存在第一类间断点.
    证明  由于第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点, 所以分以下两种情况讨论.
(a)假设存在一点 是导函数 的可去间断点, 则 存在, 且
 ,
而 在点 的某一领域内连续且可导, 故 , 推出矛盾，即点 不可能是 的可去间断点.
(b)假设在区间 上 有跳跃间断点, 则
 ,
又由于 是区间 上 的导函数, 由可导的必要条件有
 ,  ,
即
 .
由此推出矛盾, 从而有点 不可能是导函数 的跳跃间断点. 故由上述证明,可知点 不能是 的第一类间断点.
亦即,  中的每一点或者是导函数 的连续点或者是第二类间断点.
基于预备定理, 对于定理 , 可进行如下证明.
证明  假设 在 上存在原函数 , 使得 , 由 在 上有定
义可知原函数 在 上可导, 由预备定理, 则 在 上没有第一类间断点, 这与已知条件矛盾, 故函数 在 上不存在原函数.
(2)定理5的证明.
   证明  对 ,  且 （正数）, 有
 ,
及
 ,
所以
  ,
故
 
对每一个正数 , 因 在点 连续, 故存在正数 , 当 时, 有 , 从而有
 ,
故
 
注 此定理是用导数的分析定义（即 定义）证明的.
三、实例
例1（Dirichlet）函数
 
显然, 在 内的任一点都是 的第二类间断点, 但 在任意闭区间 内不具介值性, 由定理1知,  在 内不存在原函数.
例  设函数 , 证明不存在一个函数以 为其导函数.
证明  显然 是 的第一类间断点, 所以由定理2知,  在 上不存在原函数, 即不存在一个函数以 为其导函数.
   评注 给出分段函数判断是否存在原函数, 通常先判断函数在区间上是否不具备介值性
或具有第一类间断点, 若符合则必定不存在原函数.
例  求函数 在 上的一个原函数.
   解 在 上, 由于 连续, 所以其原函数 必存在.
 ,
   当 且 为偶数时,
 ,
   当 且 为奇数时,
 .
   因为在 内,  处处成立, 所以 处处连续, 从几何意义上说, 在每个区间段 上的曲线段 必须与上一区间段上的曲线段连接无间. 为此只要适当选取 值, 使曲线上下平移, 就可使这两段曲线无间隙地连接起来. 故 在 上的一个原函数为
    ,
其中每个 应适当地选取, 使得 .

例4 设 是 上的连续函数, 且对任意的 和 , 积分值 与 无关, 证明: 存在常数 , 使得 , 其中 .
证明  由于 与 无关, 故对于 和 以及 , 则有
 ,
记
 ， ,
则
 ,
所以  , 特别地， .
令 , 我们得到 , 易验证 , ( ), 满足题设条件.
   评注 积分不等式证明常见的有微分法, 通常积分限含参变量 ,  , 可将积分上限 置换为 , 设辅助导函数 , 并证明 或 . 另一类是积分运算.  
 例  设 在 上可微, 且当 时,  ,  . 证明
 .
分析 证式不含绝对值, 可用微分法证明.
证明 设 ,  , 于是
 .
由 ,  , 知当 时,  , 要证 , 只要证
  ,
令 .
由 , 知 单调增, 当 时有
 .
综上讨论可知 , 知 单调增, 所以当 时, 有 ,
亦即
 .
此题也可用定理 证明.
证明  问题在于证明
  .                      (1)
令
 ,  ,
则(1)左端有
         
   
  .                                     
从而有
 .

参考文献：
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