陌生化为常见

陌生化为常见
孙志业
（黑龙江省大庆市大庆实验中学，黑龙江  大庆  163316）
摘  要：学生看到了一个不等式问题，对其解法感到很困惑，拿来问笔者。笔者对原解法进行研究，了解其思路后，觉得这个解法对于初学不等式的学生来说，显得高深莫测，偶然因素强，运算复杂。事实上，这种情况不是第一次发生，学生经常在杂志和书籍上看到一些竞赛或者自主招生的模拟题，解答过程往往有很多令人费解的地方，看得懂，想不到。或者计算繁琐，需要反复讨论，计算过程往往不像答案显示的那么简单。笔者自己经历过学习证明不等式的痛苦，发现很多不等式问题给出的解答往往是在作者已知取最值条件的前提下构造出的变形。或者在变形之前，往往需要做解非常复杂的方程组的工作。这在考试或研究中，意义不大。所以，笔者尝试从学生熟悉的角度入手，给学生提供一些思路。本文主要提到的，是将陌生的不等式问题变成学生熟悉的问题。
关键词：不等式；转化；方程组

原题： 求 的最大值.
原解：
 
令  解得
 
事实上，这个不等式问题，利用我们常规课教学中的很多题目的解答思路，都是可以轻松解决的。但学生对于不等式问题接触不多，有陌生感，再加上对于常规课中的一些解答思路，机械的模仿，而不知其目的何在，所以并不容易做到举一反三。下面给出笔者的三个分析思路，本文旨在说明常规课解题思路若理解的透，是可以解决看起来比较陌生的问题的，所以并不在解法上寻求多样性。
 思路一：变多元为一元
思路来源： 求 的最小值.
这种问题在基本不等式一节的教辅材料上出现多次，解题思路如下：
 ，令 ，则
 ， ，故 最小值为1，在 条件下取到。
这个解法的本质是将 看做两个变量，而二者可以利用基本不等式的变形建立关系，从而将两个变量的问题变成只有 这一个变量的问题，可以得到答案。
那么，以这样一种思路，是否可以解决本题呢？
方法一：
 令 ， 时， 有最大值 ，
故 有最大值 ，在 条件下取到.
我们看到，这个解法自然，有其合理性，如果学生对于基本不等式中的类似问题理解的比较好，是完全可以借助这个思路解决此题的。
思路二：化为含参的一元二次函数求最值问题
思路来源：学生在函数的学习过程中，经常解决含参数的二次函数问题，这其中就包括求最值问题。而所谓含参的一元二次函数，事实上就是一个二元函数。那么，我们可以借助这一思路解决问题么？
方法二： ，
 ，
这完全可以看做含有参数 的关于 的二次函数求最值问题。其中， ，
令
1， 时， ，此时， 的最大值为 ，在 条件下取到最大值 .
2， 时，易知 .
综上， 有最大值 ，在 条件下取到.
不等式问题用函数法解决，并不突兀，事实上，在竞赛试题 求证：
 中，此方法尤其有效。但学生未必会想到以 作为参数这一想法。另外,这里笔者想说明另外一个问题，为什么此题不在开始就将 看做含有参数 的关于 的函数形式呢？我们注意到，这其实是一个独立变量的问题。所谓独立变量，即一个量改变不会引起除因变量以外的其他量的改变，而这里的两个变量能直接确定第三个变量的值，所以不能直接做。
思路三：利用基本不等式的结论
思路来源： 求 的最大值.
这个问题的解法在基本不等式一节习题课中是常见的，
 
 最大值为 ，在 条件下取到最值.
这个思路的本质是先使得条件和结论“同次”，再利用基本不等式寻求突破。按照这个思路本题也是可解的。
方法三：
 那么， 应该如何处理呢？
我们可以利用柯西不等式处理， ，
故 有最大值 ，在 条件下取到.
题目虽然不复杂，但却能通过联系之前的知识技能，使得学生对于不等式问题消除陌生感，了解到知识之间的相关性，至于本题提供的解法，方法二为解决此类问题的通法，且无需建立方程组反复验证求解。