三维钻速方程在钻井中的应用
一、钻速方程的应用条件
利用钻速方程进行计算时，多数情况下必有一个钻具组合力学模型分析并求解出钻头力矢和钻头偏转角才可，这是方程应用的首要条件。当然利用方程自身也可以进行地层造斜力等方面的分析计算。
要想计算钻头某一时刻的钻进状态，即瞬时钻速大小和方向，就必须首先确知D1、Ir、Ib以及门限力的有关系数k、δjz。
模式适用于钻头在一般工作状态，即研磨性破碎状态，或体积破碎状态或是两者兼有之。而对钻头力已接近钻头破坏状态时的计算结果有很大的误差，一般不能应用该模式计算。
由于把钻头力作为点力来处理，与实际并不相符，这也是目前钻头与地层相互作用模式存在的普遍问题。但对一般的要求不是十分精确的井的钻井计算来说也是适当的。
另外与所有理论模式一样，在应用计算时，不准确的资料数据会带来相当大的误差，这一点是至关重要的。
二、利用钻速方程反求钻头与地层有关参数
在钻速方程中有五个有关钻头和地层的参数：垂直地层层面的钻进效率D1、地层各向异性指数Ir、钻头各向异性指数Ib、侧向门限力系数k、轴向门限力δjz。能够较为准确的获得这些参数也是广泛应用钻速方程最为重要的环节之一。如果无法获得这些参数，那么钻速方程也就是失去了其实际应用的价值。利用钻速方程反求这些参数时，必须已知这五个参数中的至少两个，才能求出其它参数。这样有很多计算公式，下面仅介绍其中两套计算公式。
1.已知k、δjz反求D1、Ir、Ib。
可直接导出Ib、D1、Ir的表达式：
I
b =
(a23Vdx - a13Vdy)F3
(a11Vdy - a21Vdx)F1 + (a12Vdy - a22Vdx)F3 （4- 14）D
1 =
Vd
z
I
ba31F1 + Iba32F2 + a33F3 （4- 15）
I
r =
Vd
z
D
1(Iba11F1 + Iba12F2 + a13F3)
（ 4-16 ）
在（4-14）、（4-15）、（4-16）三式中，aij是[DZ]=[aij]（i,j=1，2，3）的元素；
而：
{F1,F2,F3}T = [ZJ]{kFjx,kFjy,Fjz - δjz}T（4-17）
{Vdx,Vdy,Vdz}T = [DP]{Vpx,Vpy,Vpz}T
（4-18）
其中：Vpx，Vpy，Vpz由该处钻速、井斜角和方位角来确定。
2.已知D1、Ir、Ib，反求k和δjz。
同样利用（3-14）式可求出k、δjz的表达式：
k = 1 D 1IbIrFjx
(M11Vdx + M12Vdy + M13Vdz)
（4-19）
或 k = 1
D
1IbIrFjy(M21Vdx + M22Vdy + M23Vdz)
（4-20）
δ
jz = D 1
1IbIr(M31Vdx + M32Vdy + M33Vdz)
（4-21）
在上三式中，Mij =∑(Ib)INT(c 3)(Ir)INT( j 3)bicajc ；i，j，c=1，2，3，INT是取整函数；bij是[JZ]中的元素，aij是 [DZ]T 中的元素（i，j=1，2，3）。
三、井眼轨迹预测与控制
在定向钻井中，井眼轨迹的预测和控制从其计算目的和形式上看，它是一互逆过程。井眼轨迹预测是在确知钻具组合、地层数据及钻井操作参数的情况下，估测钻头将钻出什么样的井眼曲线。而井眼轨迹控制是根据钻井需要钻出一条井眼曲线，这是在钻井施工时设计出的一条曲线，那么需要怎样的钻具组合，在确定的地层内，用怎样的钻井参数相配合，才能打出重合于或基本重合于所设计的井眼轨迹曲线。在上述两个过程中就需要利用钻头与地层相互作用的理论模式进行计算。
下面介绍如何用钻速方程来预测井眼轨迹。
首先将方程用{Vp}表达出来，如下：
ì?í??
ü????
Vp
x
Vp
y
Vp
z
= D
1[PD][IR][DZ][IB][ZJ]
ì?í??
ü????
kF
jx
kF
jy
F
jz - δjz
（4-22）
其中：
ì?í??
ü????
Vp
x
Vp
y
Vp
z
={Vp} 是钻速在平动坐标系下列向量。
利用收集整理资料反求出或通过实验得到D1、Ir、Ib，k和δjz的值，根据下部钻具组合的力学模型分析求解出Fjx，Fjy ，Fjz及钻头的偏转角δ、θ。根据（4-22）式确定{Vp}。
那 么 该 时 刻 的 新 井 斜 角 为 ：αx = arctg(Vp2x + Vp2y)1 2 Vpz（4-23）
新方位角为：φx = arctg(Vpx Vpy) + A （4-24）在（4-24）式中，A 为修正值。当 Vpy＜0、Vpx＞0 时，A=2π；当Vpx＜0时，A=π；当Vpy＞0、Vpx＞0时，A=0。
连续进行井眼轨迹预测就可以计算出不同井深下的井斜角和方位角，利用插值求出任何井深下的井斜角和方位角，井眼轨迹坐标利用坐标平移可算出井口坐标系下的坐标值。
结 论
1.本文利用等效钻头力的方法，把各向异性钻头等效成各向同性钻头，在考虑了门限力的情况下，通过地层各向异性指数定义推导出钻头与地层相互作用三维钻速方程。理论思想清楚，方程形式简单明了。
2.钻头各向异性将相对积压向同性缩小钻速，并使钻速方向偏向于钻头轴向。当钻头各向异性指数为零时，钻头各向异性对钻头钻进影响达到了最大程度。因为一般钻头各向异性指数在0～1范围内，所以为使井眼稳斜最好采用各向异性指数较小的钻头。为使井眼较快增斜最好采用各向异性指数较大的钻头。
3.通过方程分析，地层的Ir最为明显地影响井眼上倾偏斜和下倾偏斜。当地层各向异性指数小于1时井眼上倾偏斜；当地层各向异性指数大于 1 时，井眼下倾偏斜。以地层倾向线为分界线，当地层各向异性指数小于1时，等效各向同性钻头力在右边，使井眼右飘；等效各向同性钻头力在左边时，使井眼左飘，当地层各向异性指数大于1时，有相反的飘移规律。
4.地层倾角、地层倾向方位角及井斜角，方位角只影响等效各向同性钻头力矢在各自坐标系下的分量的大小和正负。门限力的大小对井眼形成速度和方位也是有影响的。当侧向门限力相对较小时，易产生井眼方向变化，轴向门限力相对较小时，井眼相对稳定，钻速相对加大，但井眼的形成是多种因素综合影响的结果，每种因素对井斜和方位的影响，本文中只做了定性单独分析，只有当某种因素占有主导地位时，才有相应的井眼变化规律或钻速变化规律，也只能通过定量实际计算才能得到较为准确的井斜方位变化规律。
5.本文所建立的钻头与地层相互作用三维钻速方程中引入了钻头各向异性变化系数及门限力，使模式有了更广泛的适用性。当门限力为零，钻头各向异性变化系数为1时，钻速方程就变成“刘希圣、高德利”的“钻头与地层相互作用的新模型”中横观各向同性地层的模式。
6.本文利用钻速方程进行了对井斜角、方位角影响因素及其变化规律的定性分析。
