关于分类法在数学解题中的应用
关于分类法在数学解题中的应用
陈 刚
（盐城市阜宁县陈集中学，江苏 盐城 224411）
摘 要：本文总结了分类方法在数学解题中的几种应用，具体讨论了5种情形，并就如何应用分类法解题作了若干说明。
关键词：分类讨论；解题；应用
当面临较复杂的对象时人们往往去考虑将对象按某种特征分成几个部分，逐一相加以研究，再综合之，以达到认识对象全体的目的，这种分类方法在科学研究中广为运用。生物学家通过知觉归纳、解剖等手段运用分类方法编排出动物的谱系，化学家在分类的基础上根据元素的周期现象预言新元素的存在及其性状，在数学中则把分类作为一种揭示概念外延的逻辑方法。当我们要弄清某个数学概念有哪几个子概念构成的时候就提出了概念分类（或称为概念划分）的任务。如关于概念可分类如下：
上述采用了二分法，即把属概念（复数）连续地分成两个相互矛盾的种概念，直到适当的情况为止，用二分法分类条理清楚，对于从整体上认识种概念与属概念之间的关系较为有利。如：
都是概念二分法的例子
一、概念分类必须遵守的规则
概念的分类必须遵守以下规则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏，重复或者混淆不清的现象。
（一）分类所得的子项外延的总和应当与分类的外延相等
如：三角形以角的大小为标准可分为
因为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外延总和恰好与三角形的外延相等而
就是不正确的分类，这里第一、二、三、四象限角的外延的总和狭于被分类的概念的外延，遗漏了轴线角这一子项。
（二）分类所得的子项应当是互相排斥的
就是说某一概念被分类后，其各子项每两项都应当是并列关系而不是交叉或从属关系，如：把平行四边形分为矩形、菱形和正方形就不仅违反了规则一，而且也违反了交叉和从属的毛病。
（三）分类前从被分类的概念属性中一个作为依据
如：三角形以角的大小为标准得到的分类是（*）以边的相等关系为标准得到的分类是：
这里的不等边三角形指的是任何两边都不相等的三角形，二等边三角形指的是仅有两条边相等的三角形，如果二等边三角形指的是通常的等腰三角形，那么这一分类就违反了规则2。
二、 数学解题中的分类方法
在数学解题中，不论是证明题、计算题、轨迹题和作图题，如果我们要求得有关集合A的结论，在这里如果A1,A2,……，An是集合A的子集，
1)
2)
那么，我们只要分别获得有关A1,A2,……，An的结论，问题就得到了解决运用。这一方法解题就需要对数学对象分类，下面是几种常见的情形：
（一）某些概念的分类
某些数学概念，如实数的绝对值，直线与平面所成的角，是分类定义。涉及这些概念，可能需要进行分类讨论
例1 不等式 的解集是
(A) (B)
(C) (D)
分析：使不等式有意义的x的范围是 。即 题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式。宜先分类讨论去掉绝对值符号，化为无理不等式处理。
解：(1)当 时， ，原不等式等价于
．由 ，得 ；
(2)当 时， ，原不等式等价于
由 得 ．
所以原不等式的解集为 ．故应选(B)．
（二）含有参数的题目常常要分类讨论
例2 当 从 到 变化时，曲线 怎样变化?
解：当 时， ，曲线方程化为
，显然这是单位圆；
当 时， ，曲线方程化为 ,它表示焦点在y轴上的椭圆，短半轴为定长1；长半轴 当 时无限变长；
当 时， ，原方程化为 ，它表示两条平行直线；
当 时， ，原方程化为 ，它表示双曲线， ，双曲线焦点在x轴上；
当 时， ，原方程化为 ，它表示焦点在 轴上的等轴双曲线。
评注：当 从 到 变化时，曲线从单位圆、椭圆、平行直线到双曲线、等轴双曲线；量变引起质变，关节点上发生突变飞跃，你看，辩证法在中学数学中体现得何等淋漓痛快。
例3
分析：这是一个含参数 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 分类： ，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类： ，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1 与 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
解：（1）
（2）
①
②
（i）
（ii）
（iii）
综上所述，得原不等式的解集为
（三）根据几何图形之间的位置关系进行分类
例4 已知两定点 和 ，一定圆 ，求作一圆过 两点且切与圆
分析：如图假设圆 即为所求的圆， 是此圆与圆 的切点因为过 点可
作两圆的一条公切线交 的延长线于 ，所以
①
若过 再作圆 的任意割线 ，那么
②
由①② 可见 共圆由此得做法如下过 两点作任意圆，交圆 与 连 并延长之相交于过 作圆 的切线 过 三点作圆即为所求
让我们略去证明而将注意力集中分类讨论，由于 两点与圆 存在各种不同的位置关系因此要分为六种情况：
⑴ 两点均在圆 外，有两解，均外切于圆
⑵ 两点均在圆 内，有两解，均内切于圆
⑶ 两点其中有一点在圆 内，另一点在圆 外，无解
⑷ 两点均在圆 上，无解
⑸ 两点其中有一点在圆 上，另一点在圆 内，有一解，内切于圆
⑹ 两点其中有一点（不妨设 ）在圆 上，另一点（不妨设为 点）在圆 外，这时还要进一步分为三种情形：
①当 时有一解，外切于圆
②当 时无解
③当 时有一解，内切于圆
（四）按剩余类进行分类
整数集的元素按以自然数k所得的余类分类，成为以k为模的剩余类，例如以4为模的剩余类有四类：
一般地，以k为模的剩余类有k类：
当是，我们可以将证书集的元素分成两类，即：奇数，偶数
例5 一直甲教室里每一张桌子上有2瓶墨水，乙教室里每张桌子上有3瓶墨水，又知甲乙教室里的桌子总和与墨水瓶的总数均为奇数，问哪一间教室里的桌子是奇数？
解：设甲教室里有 张桌子, 乙教室里有 张桌子;又甲乙教室里的桌数总和为奇数 ，墨水瓶数的总和为奇数 ，则有
①
②
又①式可知 的奇偶性不同，因此,可作如下奇偶性分析：
⑴ 为奇数， 为偶数 此时 为偶数，与②式矛盾
⑵ 为偶数, 为奇数 此时 为奇数，与②式吻合
综上述讨论，可得结论：乙教室里的桌数为奇数
（五）排列组合中的分类讨论
排列组合问题的解决也常常利用分类讨论，例如组合的性质 就可以通过分类讨论思想加以证明实际上 个元素中取出 个元素的组合数是 将这些组合数分两类：一个是含有某个特定元素的，有 个，另一类是不含有这个特定元素的，有 个。由加法原理就得出上述组合的性质。
例6 从 这九个数字中，任取三个数字排成三位数，且 可当 用，可以组成多少个不同的三位数?
分析：既然数字 的作用特别，就按所排成的三位数中有或没有6来划分，分类讨论。
解：(1)所排的三位数中没有数字 ，则需从另外 个数字中取三个数字；又0不能作百位数，故这三个数字又有两种取法：
①三位数中既没有 ，又没有0的，有 个；②三位数中没有6，但有0的，有 个；
(2)所排三位数中有 的，由于 可当 用，所以有的三位数一个就应当作两个看．此外，另两个数中也有含 或不含0的问题，共有两种取法：
①含 但不含 的三位数有 ,②含 也含有 的三位数有 个．
∴满足条件的三位数共有： (个)．
答：这样的三位数一共可以组成 个．
小结：分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。
如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。
参考文献：
[1]徐本顺,解恩泽.关于数学猜想的几个问题[A].中国自然辩证法研究会.自然辩证法论文集[M].北京:人民出版社,1983:143-162.
[2]徐荣生,谭元喜.谈分类讨论题结论的归纳方式[J].中学数学教学参考,2002,(10).
[3]李荣,王习建.浅谈分类讨论思想方法[J].重庆招考信息,2001,(3).
