浅谈高三数列复习中的数学思想
浅谈高三数列复习中的数学思想
徐 健
（镇江市实验高级中学，江苏 镇江 212000）
摘 要：数列是高中数学的重点和难点，从数列学习中我们可以看到函数知识在孤立自变量中的运用，展现了元素的孤立美．本文从不同的视角去审视数列教学的思想性，旨在分析高三数列复习教学中的数学思想的重要性，意在提高学生分析、解决数列问题的眼界．
关键词：数列；数学思想；函数思想；整体思想
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
数列是函数的特殊情形，是一种不连续函数在高中数学中的具体体现．对数列的考查，足以体现学生分析问题的严谨性、整合性，从中可以体会到学生解决无穷数量问题的逻辑分析能力和运算能力，一直是各地高考的重点和难点．
从另一方面来首，我们知道高三复习教学不能仅仅以大量的重复训练为根本复习手段，这样会使学生陷入学习的枯燥情绪和知识的低效运作中，是一种效率极低的教学方式．通过多年教学的经验，笔者认为高三复习教学以一轮复习作为基本，辅以专题形式的总结性训练，诸如：知识点交汇处的专题或思想方法的专题等等，能在一定程度上使学生得到数学解题能力质的飞跃．本文将以高三数列复习中的独特视角，以数学思想方法为载体谈谈数列复习的高效性．
一、函数思想解数列
数列是一种特殊的函数，这表明数列问题至始至终围绕着函数思想进行运作，这就要求我们在解决数列问题时，多多以函数思想的角度思考数列的问题，比如可从函数的三大性一窥某些数列的性质，利用函数图像的分布研究数列的图像特征等，达到转化化归的目的，既运用数学思想解决问题又降低数列问题的解决难度．
例1 已知数列{an}．（1）若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．（2）若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
分析：（1）求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．（2）数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4，f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．
解析：（1）①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，∵n∈N*，∴n＝2或3，∴数列中有两项是负数，即为a2，a3．
②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为n＝52，又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2．
（2）由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2<32，即得k>－3．
说明：（1）我们知道，本题中数列的通项公式显然是以二次函数为背景的，对二次函数图像、性质、最值等基本的研究可以方便我们轻松解决此类数列通项问题，足以体现函数思想在数列问题中的重要运用；（2）值得注意的是，数列不是连续的函数，因此对二次函数对称轴的使用要当心；（3）利用单调性解决数列问题时，要注意自变量的范围，函数与数列是不可分割，但也是有区别的．
二、整体思想解数列
整体思想是高中数学各个章节中贯穿始终的数学思想，其主要体现在能否用整体的眼光去看待一个数学问题，尤其是数学公式的重要运用，有些学生在解决数学问题时往往“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，正是因为其没有用整体思想看待数学公式的使用，导致其解决问题寸步难行．
例2 设等差数列 的前 项和 ，前 项和 ，求它的前 项的和 ．
分析：（1） ，只需求出
即可．（2）由 ， 可以构造出 ，并求出．
解析：方法一：设 的公差为 ，则由 ， ，得 ，
②－①得 ，∵ ，∴ ，
∴ ．
方法二：设 ，则 ，
③－④得 ．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
说明：（1）整体思想是高中数学中凌驾于知识体系思想方法之上的整体性思想方法，其体现在高中数学飞公式运用等重要环节，对本数列问题而言，两种解答均用到了数学的整体思想，其中法一把 看成了一个整体，法二把 看成了一个整体，大大简化了数列的运算量；（2）针对数列整体思想的运用，笔者建议首先要培养学生在公式运算中的整体意识，包括很多数学公式运算中要常常提起整体思想，诸如三角函数公式 的使用就是整体思想最好的体现；（3）对整体思想的运用还需要学生对数学计算的熟练程度，对观察的要求也较高，值得教师在教学中不断进行渗透．
总而言之，数学学习的最高层次是数学思想方法的学习，是数学的心脏，是教师数学教学的核心．
高中数列问题中显示出多种的数学思想方法，以本文为例彰显较为重要的函数思想和整体思想，将思想方法渗透进学生的脑海中，远比大量进行题海训练而巩固学生的知识来得牢固．这就是天津师大教授顾沛对思想方法进行这样的总结：“用训练来巩固学习，是初级的学习方式；而用思想方法看待学习，是一种高端的享受学习．”
因此掌握高中数学思想方法并能在数列问题中熟练运用，得益于教师日复一日的渗透和学生用心的感知．在数列复习教学中还要对其他的思想方面进行全面渗透，诸如数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，考虑到这些常规思想在教学中涉及较多，本文未做详细展开，而是对更全面的两个数学思想进行了结合例题的阐述，通过问题提高学生看待数列本质的能力，使其在掌握扎实的双基的同时，将知识点进行有机的整合，最终上升到思想方法的高度进行提炼，久而久之的磨练可以提升学生的数学能力和数学素养．限于篇幅，本文对两方面的思想方法浅显的做了分析，其他思想方法的研究还不够完善，恳求读者指正补充．
参考文献：
[1]沈恒.运用整体思想求数列[J].中学数学教学参考(上半月),2009,(10).
[2]刘见乐.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育,2011,(05).
