浅析初中数学规律探索型问题

浅析初中数学规律探索型问题
 吴美霞
（扬中市同德中学，江苏  镇江  212218）

摘  要：世界上的万事万物都有规律可循的，所以认识规律、掌握规律、运用规律是人类认识世界、改造世界的重要途径和手段。在我们的课本、中考说明、试卷等资

料中就出现了大量 “探索规律” 的问题，学会解决这类问题对同学们认识世界、了解世界，树立正确的世界观将起到重要作用。规律探索型问题:就是对材料信息的加

工提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类问题。规律的归纳和发现能反映出一个人应用数学、发展数学和进行

数学创新的意识和能力。求解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分析，去推得一般的结论。这类试题意在检测

解题者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这几年的热点内容。下面笔者在教学实践中遇到的找规律题分为以下几类并谈谈解题套路。
关键词：初中数学；规律；探索性问题

一、 代数中的规律问题
代数规律问题中的数、式一般都按照一定的顺序给出，在解题时，可按照它的顺序编上序号，然后从横向和纵向两个角度，研究哪些数是变的，哪些数是不变的，变数

和序号之间又有什么关系，假如能从题设中观察出这些关系，那就比较容易发现其中的奥秘，结论也就得到了。
（一）数字型探索规律
例题1 观察下列各数：1，4，9，16，25……，按此规律写出第n个数为（ ）
解析：第一步，寻找个体的共性：各个数均为平方数；
第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即：找到第一个数与1的关系，第而个数与2的关系，第三个数与3的关系……，并且考察是否具有相同的关系）
第一个数：12；
第二个数：22； 
第三个数：32；
第四个数：42；
第五个数：52；
……
照此规律下去就有： 第n个数：n2(特点：各个数都和n有关，并且都是n的平方，而“n的平方”就是特性中的共性)。
第三步：验证猜想：当n=1,2,3……时都符合，因此猜想正确。
（二）式子型探索规律
例题2 （2010广东中山，21）阅读下列材料：
 
 
 
由以上三个等式相加，可得
 
读完以上材料，请你计算以下各题：
(1)  (写出过程)；
(2) ；
(3) .
解析：第一问，寻找共性及特性中的共性。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素，因此必须分类进

行：
（1）等号左边第一个数字分别为：1，2，3……（特点：第一个式子为1，第二个式子为2，第三个式子为3……照此规律，第n个式子是n，所以其共性为：每个式子的第

一个数字都和n相等）；
（2）等号左边第二个数字分别为：2,  3,  4,  ……（特点：第一个式子是 ，第二个式子是 ，第三个式子是 ……照此规律，第n个式子是 ,其共性为：每个式子都是

其序列号和它后面的一个自然数的乘积）；
（3）等号右边第一个数字都是 ，括号里面都是：序号及其后面的两个自然数的乘积与序号前面的自然数和它后面的两个自然数的乘积作差。（共性很明显）；
因此，
= + +
=
=440
第二问：根据第一问的结果： = ，找出式子的共性(等号右边即为最后一个乘式与其后一个自然数的乘积的 倍),所以
 =
第三问：由材料分析，两个连续自然数的乘积等于 倍的两个(符合上述规律的)代数式作差，那么可以推断出三个连续自然数的乘积等于 倍的两个(符合上述规律的)代

数式作差，即： 
= +
+
= 
=1260
点评：在处理探索规律型问题时，要仔细观察，找出式子的变量与不变量以及变量的变化规律，进而用字母代替变量，达到将问题数学化的目的。探索这类问题体现了

这样的认识过程：特殊——一般——回到特殊。
二、 平面图形中的规律问题
有些找规律题是由图形给出的，我们在找规律时，应根据图形的变化，找出其内在的联系，从而揭示规律。
例题3 (2010 重庆建新，25) 观察如图1所示中的各图找对顶角(不含平角)：

(1) 如图a，图中共有        对对顶角.
(2) 如图b，图中共有        对对顶角.
(3) 如图c，图中共有        对对顶角.
(4) 研究(1) ~ (3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
(5) 若有2008条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
解析：从图中可直观的观察出图a共有2对对顶角；图b共有6对对顶角；图c共有12对对顶角.
(4)小题讨论直线条数与对顶角的对数之间的关系时，直观的观察不能发现它们之间的关系，此时需要考虑分解因式法，即将对顶角的个数分解成含有直线条数与某个数

乘积的形式，再观察这个数与直线条数之间的关系，把这种关系用含有字母的代数式表示出来,
即：由(1) ~ (3)得n条直线相交于一点，则可形成n(n-1)对对顶角.
验证猜想：当n=2, 3, 4 ……时都符合，因此猜想正确。
(5) 当n=2008时，对顶角对数为2008×2007=4 030 056.
点评：解决规律问题的关键是寻找各部分的共性，代数中的规律应遵循，平面图形中的规律问题也要遵循。当难以直接找到共性时，则可以通过抓住相邻两个数字或两

个式子、两个图形之间的关系来实现。并且抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。