在小课题探究中完善学生数学认知结构
在小课题探究中完善学生数学认知结构
张 涛
（浙江省绍兴市柯桥区秋瑾小学 312046）
【摘 要】设置小课题的研究，从学生自主学习出发，去探究数学领域在生活实践中的应用，不管能得到多少结论，或者
说对不同阶层可能反馈的信息不同，但探究过程既符合了新课程标准对小学数学“四基”的要求，同时通过学生的自主探究
小课题，能更好的结合学习增强记忆，实现“以学定教”的基本教学理念。在设置小课题时，可以是学习前预设或是在生活
中遇到发现小课题， 要能有效服务于数学学习或生活实践， 选择“合适”的小课题研究是完善学生数学认知结构最简单、 直接、
有效的学习过程。虽然有些显而易见的结论，但是当孩子们去尝试，去操作的时候，也许得到信息的认知程度比直接老师灌
输要来的丰富和坚定的多。
【关键词】小课题 探究 认知结构
“课程体系要遵循不生的认知发展规律” ，这说明教学活动必须以学生为主体，调动学生认知的规律性。对于教学，
如果我们一味的追求教师教，而忽略了学生学的过程，往往会让孩子们出现一些错误的分歧，或者进入一些误区！教师
的教固然重要，但必须要建立在理论与实践相结合的过程中，脱离了实践，就无法检验真理的存在。而在数学探究过程中，
又往往无法去鉴定真理存在的唯一性！所以我觉得对学生设置小课题的研究，从学生自主学习出发，去探究数学领域在
生活实践中的应用，不管能得到多少结论，或者说对不同阶层可能反馈的信息不同，但探究过程既符合了新课程标准对
小学数学“四基”的要求，同时通过学生的自主探究小课题，能更好的结合学习增强记忆，实现“以学定教”的基本教学
理念！
相反地，从学生的角度出发，有时候也需要对教师提出一些建议，对教师的语言描述是否准确到位，对学生的教学
是否圈定在自我为中心的理解中，还是站在学生的立场上考虑？所以落实数学小课题研究对学生学习数学知识，探究数
学问题、培养数学兴趣和构建数学模型有极大的推动作用！
一、可以是学习前预设或是在生活中遇到发现小课题我设定一些简单的小课题入手，对学生进行有机的时间
调配，数学学习有时候不仅仅局限于在课本上的教学，或者不仅仅在课堂上，很多时候也研究在生活中。
很多理论的知识都是应该构建在生活中，可以用生活中的经验来润色我们的学习。比如以人教版2003年初审通过的
小学《义务教育课程标准实验教科书》数学四年级下册为例：在我们教学过程中就带有很多值得我们去探究的小课题，有
些是学生提出来的，有些则是教师总结过的。比如要学习三角形相关知识时，学生已有了对三角形的基本概念，但究其
本质还是很多时候不清楚怎么去发现，或者探究三角形的秘密。那么我们不妨设计一个兴趣小组，专门研究、探究在三
角形中的基本概念和相关性质！有的学生会去发现三角形三个顶点不可能在一条直线
上，或者有的学生下结论当确定了三个顶点这个三角形就唯一确定了 ； 有的学生会去发现三角形中三边之间的关系 ： 或
者成立两边之和大于第三边，或者成立两边之差小于第三边等等，有的学生会研究到当两边长度相等时，第三边可以无
限小 ； 有的学生回去发现三角形中角的相互关系，三角形中最多只有一个角是钝角或直角（三年级已学习角的分类） ，三
角形的稳定性等等。其实在孩子们从点及线再到面的研究过程，也就是小学数学在探究问题时的基本过程，而这正是学
生极好的思维训练与培养过程！再比如我们要学习四年级的小数相关内容，我们会让学
生去结合生活中的小数，去探究发现“小数存在的意义” 。孩子们第一时间拿到小课题，必然会先去超市，在他们的印象
中，超市里的价格表就是唯一存在小数的地方！为了改变这样错误的想法，活动时由指导老师带队，引领小课题组成员
一起去了附近的银行，去了医院，同时也规定了在超市以外的地方去发现小数存在的方向。通过孩子们的问询了解，包
括对周边人物的采访，孩子们找到了更多生活中的小数 ： 在银行他们看到了银行利率和货币兑换等等小数的存在 ； 在医
院他们看到视力表上有小数的存在、自动测重仪上有小数的存在、针剂里表示容量毫升数中发现了小数等等 ； 当然也有
孩子们自己发现的在商场有打折时遇到的小数，测量身高时会发现小数等等。再通过小组合作研究，从为什么要运用小
数，或者小数表示了什么意义出发，来探究小数在生活中是否是不可缺少的！
当然课题的发现有时候也不仅仅局限于在书本中的课例，生活中我们也会得到许多知识的借鉴和应用。实践成为
了孩子们的第二课堂 ： 学生们在捡落叶时会提出问题，如何去测量像落叶这样不规则图形的面积（往往借助网格线的应
用，三下面积的介绍有所接触）？有的学生家人自己做馒头的，孩子们会思考怎样可以在一个蒸笼里放最多的馒头（往
往借助园面积问题）？升国旗的时候思考怎样去测量国旗旗杆的高度（往往要借助比例的知识）？看到滴水思考一分钟
到底浪费了多少资源等等。可以让学生深刻体会数学知识领域的博大精深以及由此带来的生活中的点滴思考！
诸如此类研究往往是帮助学生建立一定的数学认知结构，再结合所学过的知识，通过简单的问询和科学的调查，
对研究的小课题进行有效合理的剖析，从而达到认知结构的建构或算理算法的融合。
小课题的发现往往处于偶然，却处处隐含着必然，对数学问题的探究，正是培养学生良好学习兴趣的有效利用手段。
它可以有效防止学生出现像“鱼牛”这样的形象，设立小课题的探究，可以使学生学和教师教有机结合，充分发挥学生
的主观能动性，对不同层次的学生可以得到或浅显或深奥的科学结论，帮助学生完善数学认知结构具有良好的推动作用！
二、小课题的设立要能有效服务于数学学习或生活实践小学数学小课题的研究应满足以构建学生数学知识认知
为基础。在实践中探究数学问题应围绕在以数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的内容之上。一个小课题
应该为解决某些基本数学知识或能力服务，可以是代数也可以是几何的形式。但所有的内容在探究过程中都应该以科学
为依据，建立数学模型基础可以在数学的各个层面上。同时小课题的预设也往往很少会让学生先看书学习，这样很有可
能会让学生从已有结论中得到提炼从而限制了学生的思维！比如《如何稳赢》小课题，学生写道 ： 既定一个游戏环
节，11根小棒（或者更多） ，两个同学轮流摸1或者2根，每一轮必须要摸，谁摸到最后一根谁就获胜！最终思考为 ： 只
要一轮留下三根，让对方先摸就能稳赢，依次类推，11除以3等于3余2，所以自己先摸两根，等对方摸1，自己就摸2，
对方摸2，自己就摸1，可以稳赢！小棒的数量可以无限多，如果对方要先摸，我就放3的倍数个，如果让我先摸，我就
放除以3有余数的个数， 余数是几就在第一次先摸走几！（虽然有简单的作弊，但是这正是预示了赌博必然害人害己）
小课题的研究往往是借助直观感知，通过简单的分析或者科学合理的解释后，提炼为一种数学上的全新的思维模
式，从而客观、形象地实现了对课题的理解与研究！但建立在小课题的初期往往对数学知识的构建非常重要，很多内容
可能涉及到学生未曾接触的领域，这就需要有指导老师的悉心辅导了。对课题的判定是否可以作为小课题研究，在研究
过程中进行相关知识的介绍，通过合理有效的手段让学生去发现问题中的问题等等。其实研究本身也是一个学习的过程，
多说几个为什么，加强学生在研究中的说理过程，逐渐渗透到自己的推理能力上，相信对激发学生思维有很好的推动作用！
比如《合理存放》的小课题研究，如何能在一个盒子中存放 N 多张磁带。学生们先去测量了磁带的长、宽、高分
别是11cm、7cm、1cm，再测量出盒子的长、宽、高分别是41cm、24cm、9cm。那么怎样存放可以放进去最多的磁带？
这个话题一度引起学生极大的兴趣，有的学生觉得直立起来放会省空间，有的学生觉得平铺可能会更加合适等等。但苦
于没有那么多的磁带，所以一度停止了研究，很多也只能是凭空想象。为了试验的正常进行，笔者和学生特地寻访收集
了周边居民的磁带盒子，学生还有自己动手制作成固定形状的盒子，让我不禁为之哗然。学生尝试出了各种不同的摆放，
有的可能还有空余，学生强塞进去，甚至为了证明自己存放比较合理把自制的盒子塞的扁扁的。这时候指导老师会帮助
学生进行简单的计算，也可以让学生自己计算，看看这样的情况是否合理，再通过一次次的验证一次次的推理，最终一
致认定了一种平铺与直立相结合的摆放方式最合理，当然其实对于结果可能并不是很在意需要有多精确，但是对于学生
的思考其实有了很大的帮助，学生会思考的模型包含了体积的认识，最优解问题还有容积问题等等，当然也有学生有了
新的发现，有的学生把高1cm 称为“补足数” ，专门用于弥补当放不下固定长或者宽的时候，因为1cm 足够小当一旦空
间剩余只有6cm 或者更小，无法平铺放入一个磁带时，就可以用高的1cm 进行空间补足，这样的思考让学生的思维也顿
时变得活跃起来！
三、选择“合适”的小课题研究是完善学生数学认知结
构最简单、直接、有效的学习过程小课题的提炼，往往是因人而异的，对于不同阶层，不
同能力的学生，往往需要设置不同要求的小课题，某些形而上学的或者是眼高手低的小课题，其难易程度有可能不适合
学生本身的认知能力和知识水平，强制灌输可能是短暂有效的接受，但不利于学生长期的知识发展。所以选择一个“有价值”的小课题就显得尤为重要。小学研究往往更强调点线面体的相互统一，或者由表及
里的层次剖析，这是一个很好的数学思维建模过程。小课题的研究往往先从一个简单细微的点出发，引出相关问题的主
线，再把所有信息串联起来最后升华。也可以是有表象问题入手，了解其根源。再通过现象究其本质，并形成自己的认
知结构！
据统计表明，大部分学生（主要是中等生）在小课题研究中喜欢做调查报告 ； 一部分学生（主要是学优生）则更喜
欢做纯数学的小课题研究 ； 当然也有一部分学生（主要是问
题生）不太喜欢做小课题研究且存在畏难心理。所以需要老师积极参与适当指导，这样活动会更具有时效性。小学生当
学会用已有知识进行小课题研究的时候，就是建立了一定的学习基础，当然无论是做调查也好，或者纯数学研究也好，
都需要学生有一定的功底进行数学分析或者巧妙归纳，有时候需要推理，有时候需要演绎。最终可能不同阶层的学生会
得到不同程度的分析，但在最后小组分析和探讨的过程中，学生就能实现共同学习，共同进步，并且逐步构建一个完成
的思维结构，并奠定了坚实的基础。比如在课题《比较股票涨跌分析调查》中，学生每次都
结合自己家庭中有父母在炒股的几支股票进行分析，也根据自己的喜好进行了一定量的统计分析，对开盘、收盘、涨跌
情况都做了简单的统计。因为父母本身自己在关注，学生更多的只是起了一个调查收集整理的工作。通过三个多月的调查，
现在基本上有了孩子自己的分析。有的觉得股市有风险，入市需谨慎 ； 有的觉得股票涨只会小涨，但是跌会大跌 ； 也有的觉得股票投资赢大于赔（这是父母比较会炒股的） 。但无论做了什么结论，至少孩子去对问题进行了剖析，学会简单的统计和初步的分析，是对学生学习归纳和演绎最好的建模过程！小课题的研究过程中也需要有定性和定量的分析。过程
会充斥着 ： 观察、实验、模拟、猜想、矫正调控、探索等等。数学小课题的设定需要“合理” ，也体现在是否充分发挥了学生的主管能动性和操作实践性。当学生已形成了固有思维后往往再让学生打破常规重新定论可能会有些麻烦，所以适当
的预设，可以让小课题的研究既具有趣味性，也具有挑战性。数学小课题的设立，是对学生理论与实践相结合的最好
方法，对完善学生的数学认知结构有着极大的推动作用。用理论丰富实践，用实践验证理论。虽然有些显而易见的结论，
但是当孩子们去尝试，去操作的时候，也许得到信息的认可程度比直接老师灌输要来的丰富和坚定的多。最后教师倘诺
再给学生们一点指导评价，对成果进行鉴定的小课题，一定能充分调动孩子们的积极性，真正把小课题应用到了实处。
小课题的实践，主要的是重新构建了孩子们学习数学，自主创新的学习氛围， 这样的数学不但“新”了， 更加“活”了！
