一道高考题的五种解法

一道高考题的五种解法
高成龙
（首都师范大学数学科学学院，北京  100048）

摘  要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。
关键词：三角函数；一题多解；高考

题目：（2012年全国大纲卷•理7）已知 为第二象限角，且 ，则 （   ）
（A）      （B）       （C）     （D） 
分析一：利用三角函数基本公式 ，联立方程组来求解得 的值，进而求得 的值.
解法一： （1）， （2），联立（1）式与（2）式消去 得： ，
求得 或  .
又由题设 为第二象限角，所以 ，即  ，代入（2）式得 ，由 得 ，选A.
点评：该方法是学生最容易想到的，由于涉及解一元二次方程，因此计算量较大.
分析二：在解法一中求得 的值之后，无需在求 ，直接利用 来求 的值.
解法二： 由解法一求得 ，由 得  ，选A.
点评：在求解 的值时，若已知 的值，直接利用 来求；若已知 的值时，直接利用 来求解.
分析三：根据 先求得 的值，进而求得 的值.
解法三：因为  ，将其两边完全平方得: ，解得: ，利用 得 ，由题设 ，则 ，即 位于第三或第四象限，这样 的符号不唯一，因此这种方法不能确定 的符号.
下面从另一个角度来确定 的符号：根据二倍角公式 ，因为 为第二象限角，所以 ，从而 ，另外 ，因此 ，从而 ，选A.
点评：该法是五中方法中计算量最小的一种方法，巧妙之处在于将 因式分解为两个符号容易判断的因式.平时教学中发现有一部分学生虽然能想到此法，费尽周折求出了 ，因为 位于第二象限，所以 ，因此求得 ，虽然答案选对，但是学生犯了一个错误，题目给的是 位于第二象限，并非 位于第二象限.
分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断 的符号取决于 与 的大小.
解法四：同解法三实质一样，求得 ，下面来判断 的符号，
因为 为第二象限角，所以 ，且 ，从而 ，因此 ，从而 ，选A.
分析五：由已知 的值，利用恒等式去求解 的值，进而求得 的值.
解法五：由于题目已知 ,为避免求 的值，直接利用恒等式 得 ，
又由解法三 ，因此 ，从而  ,选A.