定义——性质——方法

定义——性质——方法
丁  剑1  吴旭红2
（1、常熟外国语学校，江苏  苏州  215500；2、江苏省常熟市中学，江苏  苏州  215500）
摘  要：本文从高三复习的角度再现了学生对知识的学习过程:定义----性质----方法，这三者定义为基，性质是经，方法成面，之间相互相承，相互融合．课堂实践中的采撷的几道题，是对定义这一根本的体现，万变不离其中．只有紧抓定义，理解性质，才能迅捷地选择方法，流畅规范地解答．
关键词：高中数学　高三　定义　性质　方法　规范
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高中数学的抽象性、系统性较高，部分学生学习吃力，摸不着门，心里忐忑，一见数学就头大，甚至最基本的公式都记不牢，学习方法不佳，导致学习困难，或不善于总结，只是死做题目，错了听老师讲懂，抄下来，不能独自思考，下次碰到仍出错，这样的学习收效甚微．
    其实所有的学习内容皆有章可循，从基本概念到推导性质，再至方法技能，最终用于实践问题，学生可以在这样的步骤中循序渐进，相互融合，其中基本概念是关键．在高三的复习课中，要抓住帮助学生的最后机会，让基础差的同学巩固基础，让能力差的学生融会贯通，了解知识内涵，让感觉好的同学做到高瞻远瞩，信手拈来．
下面以在高三二轮复习中与学生探讨的几个例题来说明．
一、 的图象关于直线 对称，则 _________．
（1）定义法：由 ，代入化简，得 对 恒成立，∴ ，∴ ．
（2）性质法：当 时， 取最值，即 ，
平方化简得： ，∴ ．
（3）特殊法：由 得 ．经检验成立．
评注：本题本质是对对称轴的含义的理解，不管是从定义，还是从三角函数的性质出发，都能迅速地解决问题，而在理解了恒成立的本质后，特殊法是解决本题的最佳选择．
二、已知 均为单位向量，且 ，则 的最大值是_______.
（1）定义法： ,则 ，
∵ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，由 ，得 ．
∴
 （当且仅当 时等号成立）.
（2）几何法：（性质）设  ，  ，  ，
则由题： ， 即 ，
则 或 ，
∴ 或 为钝角或直角，
以 为邻边作矩形 ，则由 ，
得  ，当 与 重合或 与 重合时最大为 ．
（3）代数法：
由 ，不妨设 ，
由 ，
得 ，即有 ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ．
∴
（当且仅当 时取等号），
即当 与 重合或 与 重合时 取最大值 ，此时 取最大值1.
评注：向量具有几何和代数双重性质，数量积公式也有代数和几何的理解，向量问题化为纯粹的计算问题，结合向量模即是长度的的运算，本题有如上三种方法。其根本是向量和向量的数量积及向量的模的概念.
三、（连云港2013第一次模拟）关于 的不等式 解集为 ,若集合 中恰有两个整数，则实数 的取值范围是______________．
（1）定义法:令 ，则 的图象开口朝上，对称轴 ，在 轴上截距 ，由题函数 的判别式 ，∴
① 当 时 , ，由题集合 中元素为 ，
则 即有 ，
② 当 时， ， .由题集合 中元素为 ，
则 即 ．
综上：实数 的取值范围是 ．
（2）不完全分离法：不等式 即为 ，
当函数 的图象与 的图象相切，一个切点 ，另一个切点为 ．∵集合 中恰有两个整数
①  集合 中元素为  则有 即 ，（见图１）
 
　图１　　　　　　　　　　　　  图2
②  ②集合 中元素为 ，则 即有 ，（见图２）
③ 合 中元素为 ，  不存在．
综上：实数 的取值范围是 ．
（3）完全分离法：令 ，则不等式 即为
① 当 不成立．
② 当 则 ，在同一坐标系里分别作出 和 的图象， 则由题，有 即 ．
③ 当 则 ，在同一坐标系里分别作出 和 的图象，
则由题，有 即 ．
综上：实数 的取值范围是 ．
评注：本题的难点在于二次不等式的解集 中恰有两个整数解的保证，二次函数的各个系数，图形特征，解的端点即是方程根，对应零点的含义是问题的根本。三种处理皆是学生容易考虑到的，关键是结合图形，条理清晰地表现出来，其中也体现的学生对于函数，函数图像，方程，不等式，变量分离等知识的理解应用．
四、（盐城市南京市2013届高三第一次模拟考试）
已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上的任意一点，则 的取值范围是____________.
（1）定义法： ，
由 ，
则 ，∴ .
（2）焦半径公式法∵ ，
又∵ ∴
∴ .
（3）特殊位置代入， 在左端点， ，
 在右端点,  ，显然 时 ，
∴ .
评注：本题不管是第一定义还是第二定义的使用，还是对于焦半径的理解记忆基于椭圆定义下的方程所体现的 的范围，这是关键！
  本文并不是要罗列一些一题多解的问题，也不说每个题目都有三种或以上的解法，而是在第二轮的复习中，学生的学习深度和能力所需，要重视性质，方法的使用，但是却永远不能忘了根本——定义，只有紧抓定义，理解性质，才能迅捷地选择方法，流畅规范地解答．