高中数学解题方法探析

高中数学解题方法探析
张彦锋  
（神木第四中学，陕西  榆林  719300）

摘要：让学生掌握数学解题的方法，是提升学生数学解题效率的关键。本文笔者从用数形结合的方法解题；用分类讨论的方法解题；利用反证法进行解题；运用函数与方程相结合的方法解题等四个方面对高中数学解题方法进行了探析。
关键词：高中数学；解题方法；探析

一、用数形结合的方法解题
例 已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（    ）
(A)5     (B)7         (C)9           (D)10
[解析] 画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数。在这样的解题方法指导下，将“数”转化为“形”，将数与形很好的结合起来，从而大大提升了数学解题的效率与准确率。
解：由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数。又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点。
 
故此题答案是C。
    对于这道题目而言，虽然只是一道选择题，但要是用代数的方法进行计算得出结论，就会很容易出现错误。在解题中，我们将用“形”的形式表现出来，其答案一目了然，解题也变得快速而准确了。
二、用分类讨论的方法解题

例：解不等式 >0  (a为常数，a≠－ )
[解析]  此不等式中，含有参数a的大小，决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，介于此，我们需要参数a的大小情况进行分类讨论：a>0、a＝0、－ <a<0、a<－ ，通过a情况的不同分别进行解题。
解：2a＋1>0时，a>－ ； －4a<6a时，a>0 。  
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x >0，解得：x≠0；
当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ <a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－ 时，6a<x<－4a 。
本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
三、利用反证法进行解题
例： 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝  (其中x∈R且x≠ )，
证明：① 经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
 ② 这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
[解析] 本题是要求“不平行”，在高中阶段，我们学习过如何证明平行，但是对于怎样直接证明“不平行”，我们还很陌生。对于这样的数学问题，我们在解题的过程中就要将“陌生”转化为“熟悉”，这样才能更有利于我们进行解题。于是此题目我们可以将“不平行”转化为“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设，此题即得证明。
证明： ① 设M (x ,y )、M (x ,y )是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x ,
假设直线M M 平行于x轴，则必有y ＝y ，即 ＝ ，整理得a(x －x )＝x －x
∵x ≠x    ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，  
因此假设不对，即直线M M 不平行于x轴。
② 由y＝ 得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝ ，
即原函数y＝ 的反函数为y＝ ，图像一致。
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ 的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
在解答这道题目的过程中，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾，从而使题目得到解决。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，希望同学们加以借鉴并掌握。
四、运用函数与方程相结合的方法解题
例：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 ,设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.
 
          图1                              图2
[解析] （Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为 .所以   ，
得              
      依题意知：        得
所以， （ ）.            
（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有
          
   .
因为 ,所以，当 时，凹槽的强度最大.
答: 当 时，凹槽的强度最大.
此题利用函数与方程相结合的方法解决了最优化的问题。在解决这类最值问题的时候，一般是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值，从而使问题变得迎刃而解了。
 五，结束语。
总之，“只要功夫深，铁杵磨成针。”在要提高学生数学解题的效率，需要学生首先掌握数学解题的方法，在此基础之上，勤加练习，做到勤学巧练。这样“方法+实战”，一定会帮助我们提高数学解题的速度与准确度，最终提高我们的数学成绩。
参考文献：
[1]张德峰.关于高中数学解题教学的探究[J].读写算(教育教学研究),2010,(26).
[2]冯霞.浅谈高中数学解题的方法[J].科学咨询,2009,(24).
[3]王云华.浅谈高中数学解题方法与技巧[J].学周刊A版,2011,(7).
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