如何运用三角函数的性质求参数

如何运用三角函数的性质求参数
王小丽
（礼泉县第二中学，陕西  咸阳  713200）

摘  要：对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。
关键词：三角函数；性质；参数

一、根据三角函数的奇偶性求解参数
例1：已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为(　　)
A.π6　　 B.π3　　 C．－π6　　 D．－π3
解析：f(x)＝
212cos(3x＋φ)－32sin(3x＋φ)
＝2cos(3x＋φ)＋π3＝2cos3x＋φ＋π3，则由f(－x)＝f(x)恒成立，得2cos－3x＋φ＋π3＝2cos3x＋φ＋π3恒成立，利用两角和的余弦公式展开并整理，得sin(3x)sinφ＋π3＝0恒成立，而x∈R，故sinφ＋π3＝0恒成立，由所给选项，只有D适合．
答案：D
点评：求解三角函数的奇偶性的参数问题还可利用下列结论进行简解：函数y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)且B＝0，为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
例2：已知存在实数ω，φ(其中ω≠0，ω∈Z)使得函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)是奇函数，且在0，π4上是增函数，试求出所有符合题意的ω与φ的值．
解：由f(x)为奇函数，知f(－x)＝－f(x)，
∴2cos (－ωx＋φ)＝－2cos(ωx＋φ)．
∴4cos ωx•cos φ＝0.又x∈R，∴cos φ＝0.
解得φ＝kπ＋π2，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，f(x)＝2cos ωx＋2nπ＋π2＝2sin (－ωx)为奇函数，∵f(x)在0，π4上是增函数，∴ω<0.由－π2≤－ωx≤π2⇒π2ω≤x≤－π2ω，又f(x)在0，π4上是增函数，故有0，π4⊆π2ω，－π2ω，π4≤－π2ω，－2≤ω<0，且ω∈Z，∴ω＝－1或－2，故ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
f(x)＝2cos ωx＋(2n＋1)π＋π2＝2sin ω x为奇函数，由于f(x)在0，π4上是增函数，∴ω>0.由－π2≤ωx≤π2⇒－π2ω≤x≤π2ω，又f(x)在0，π4上是增函数，故有0，π4⊆－π2ω，π2ω，π4≤π2ω，0<ω≤2，且ω∈Z，∴ω＝1或2，故ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.
∴所有符合题意的ω与φ的值为
ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z，或ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.
小结：三角函数是奇函数时，最后的结果都可以化为y＝Asin ωx，y＝Atan ωx的形式，三角函数是偶函数时，最后的结果都可以化为y＝Acos ωx的形式．在研究该类三角函数的单调性时，一定要注意A，ω的正负对单调性的影响．当已知函数在某个区间上单调递增时，这个区间必须是函数单调递增区间的子区间．
二、根据三角函数的单调性求解参数
例3：已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．
解析：由题意，得kπ＋7π12－kπ－5π12＝π，即函数f(x)的周期为π，则ω＝2.
答案：2
小结：解答此类题要注意单调区间的给出方式，如：“函数f(x)在kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)”，二者是不相同的．
三、根据三角函数的周期性求解参数
例4：若函数y＝sin ωxsinωx＋π2的最小正周期为π7，则ω＝________.
解析：由题意，得y＝sin ωxsinωx＋π2＝sin ωx•cos ωx＝12sin 2ωx，由T＝2π|2ω|＝π7，得ω＝±7.
答案：±7
小结：解题时要注意x的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时须加绝对值．
例5：如图所示为函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图像，其中| |＝5，那么ω和φ的值分别为(　　)
A．ω＝π6，φ＝π3
B．ω＝π3，φ＝π3
C．ω＝π3，φ＝π6
D．ω＝6，φ＝π6
解析：函数f(x)的最小正周期为T＝2πω，点A，B的横坐标之差为πω，纵坐标之差为4，所以　πω2＋42＝5，故πω＝3，所以ω＝π3.由f(0)＝1，得cos φ＝12，又0≤φ≤π，故φ＝π3.
答案：B
小结：函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图像上一个最高点和它邻近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期πω，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图像确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图像显示出来的函数性质、函数图像上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．
四、根据三角函数的最值求解参数
例6：若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a，b的值是(　　)
A．a＝－1，b＝3　　　　　　　B．a＝1，b＝－3
C．a＝3，b＝－1  D．a＝－3，b＝1
解析：f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)(其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2)，
则－a2＋b2＝－2，fπ3＝32a－12b＝－2，解得a＝－3，b＝1.
答案：D
小结：解答本题的两个关键：(1)引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；(2)利用正弦函数取最值的方法建立方程组．