探析几类函数方程的求解方法

探析几类函数方程的求解方法
王小锋
（如东县丰利中学，江苏  南通  226408）

摘  要：函数是高考的热点问题，函数的解题方式有着复杂和抽象的特征，很多学生都头痛不已，在传统应试教育模式的影响之下，教师大多采取传的解题方式，为了更好的分析高中函数方程的求解方式，本文就从函数定义域、函数解析式与函数单调性方面来分析不同类型的求解方式。
关键词：函数方程；求解方法；教学方法

函数是高中教学的重要组成部分，也是高考命题的热点问题，帮助学生掌握函数的解题方式有着十分重要的作用，但是，函数知识有着抽象性与复杂性的特征，若教师未把握好函数解题教学的方式，那么就难以达到应有的教学效果，为了提升学生的解题能力，必须对很熟的解题方式进行深入的分析与研究。
一、函数定义域的问题
定义域是函数的三要素之一，也是考试中的重点与难点问题，常常以选择题与填空题的形式出现，其解题的难度并不大，但是这类题目多以定义域来作为限制性条件，因此，也有着一些隐蔽性，很多学生在解题时会忽略定义域的问题而出现误解，因此，在此类题目的解题中，教师必须要帮助学生树立起定义域有限的解题原则。
函数的定义域包括自然定义域与人为定义域两种类型，定义域则指要使相关定义与运算有意义，没有任何因素干扰的定义域，人为定义域与自然定义域不同，其包括两种情况，一种是对于两个相关函数，给出一个函数定义域来求出另一个函数定义域，另外一种情况就是在应用中根据实际情况对自变量变化范围进行限定。
例1 已知 定义域为 求 定义域。
解题方式：要解决这类文图，必须要把握好定义域的概念， 定义域为 那么 ，那么 ，这样即可得出 定义域为 ，令 ，f（s）对应关系依然为f，那么s= ， ，则 定义域为 。
可以看出，对于此类问题的求解关键在于对限制条件的理解，只有把握好所有的限制条件，才能够求出正确的答案。
在处理定义域的相关问题前，不可以将函数解析式进行非等价变形，例如，在求解函数 定义域时，不能够将其转化为 ，再如，对于 同样是关于定义域不同的函数，这就说明，两个函数是否相等不仅要求其对应法则应该一致，定义域也应该相同，这时，再进行式子与函数等价变形时，必须要关注到变量取值范围的变化。
二、函数解析式的问题
解析法也是函数的表达方式，能够充分的表达出其中的变量关系，在高考中，函数解析式的求解是一个重点，也是一个难点，求解方法较多，也有着一定的技巧，在求解时要综合的利用转化、分类讨论与划归等数学思想，并注重学生思维开阔性与灵活性的培养。此外，要注意到，此类题目的抽象性与灵活性较高，很多学生都头痛不已，在开展教学时，必须有针对性的开展教学。
例2 ，已知f（x）为二次函数，3f（x+1）-2f（x-1）=3x+13，求f（x）
f（x）为二次函数，那么即可设f（x）=ax2+bx+c，将ax2+bx+c代入3f（x+1）-2f（x-1）中，根据等式恒成立关系即可得到关于a，b，c的方程，即可得出答案。
例3，已知 ，求f（x）解析式。
对于此类题目，可以使用换元法与拼凑法的方法来解决，使用换元法进行解题时，可以令t= ，则x=（t-1）2≥0，将其代入 中，即可得出f（t）=t2-1，根据定义域与对应关系，将f（t）转化为f（x）即可求解出答案。

拼凑法即通过表达式的观察可以发现 ，因此f（x）=x2-1，定义域同换元法。
三、函数单调性问题
函数单调性也是函数的重要性质与核心内容，这类题目是高考热点，也常与导数相联系，常见的题型包括求函数单调区间、判断函数单调性、利用函数单调性比较大小、利用函数单调性证明不等式、利用函数单调性求参数取值范围、求函数在区间上的最值，这些题目多以填空题和选择题的形式出现，在大题中多与应用题和三角函数进行联系，求函数值域或者最值。
判断单调性的方式较多，常用的有定义法与倒数法，定义法就是从单调函数定义出发进行取值、定号与变形，在这一过程中，有一些问题容易受到学生的忽略，第一就是在取值时，x1，x2应该具有任意性，也位于同一个区间之中，第二就是要确定出x1，x2的大小。
例4，函数 为增函数，求a取值范围。
该类题目属于综合性的题型，根据题意，可以分析出对于任意1≤x1＜x2，f（x1）＜f（x2），在x≥1时，等式 ＞0，对于此类题目，即可从导数法与定义法的方式进行解答。
总而言之，函数具有抽象性、复杂性的特征，在实际的教学过程中，教师可以从众多的实例中将函数概念抽象出来，并积极的将多媒体教学模式融入其中，将函数图像的作用发挥出来，并加强函数与其他知识的沟通。

参考文献：
[1]贾随军.函数概念的演变及其对高中函数教学的启示[J].课程.教材.教法,2008,(07).
[2]孙枫,许成文.做好初高中函数教学的过渡[J].北京教育学院学报(自然科学版),2012,(04).
[3]张立红,代钦.高中函数模型及其应用的教学策略[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2011,(12).
[4]张玲艳,熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报,2007,(12).