抽丝剥茧 追根溯源

抽丝剥茧  追根溯源
——对高中数学概念本质实施有效探究教学心得
王  慧
（太湖高级中学，江苏  无锡  214125）
 
摘  要：数学是由概念、命题等内容组成的知识体系，是一门以抽象思维为主的学科。而概念恰是抽象思维的语言，因此深刻理解并准确掌握数学概念是学好数学的必要条件。在教学中，恰当地运用探究的方法，充分展示数学知识的形成过程，让学生在体验中建构，不仅可以有效地突破概念教学的难点，而且可以更好地帮助学生深化对概念的理解，培养运用概念的意识和能力。
关键词：高中数学  数学概念  探究教学

据资料显示：多年来高考数学试卷的抽样调查分析表明，高中生在把握数学概念的本质属性方面存在较多问题。主要表现为对数学概念的本质属性认识不深刻,对同一数学概念的不同表达形式缺乏系统概括的理解。究其原因，当前数学课堂中依然存在教师重解题、轻概念的现象，造成学生对数学概念的本质属性掌握不到位，不能很好地运用于解题，最终导致严重影响了教学质量。
下面笔者结合自己在实际教学中的两则案例，谈谈在高中数学课堂教学中对概念本质实施有效探究教学的心得。
案例1  苏教版《数学》必修1中“对数”
(这节课的课题企图直接让学生提出，基本不可能。因此课题的引入就从这个“国内生产总值”问题开始，得到1.08x=2。体现数学与生活的密切相关。)
投影：（1）2x=4（2）2x=12 （3）2x=2   （4）2x=3
（这几个方程都与指数有关系：未知数位于指数位置。）
师：这样的方程在实际生活当中我们经常会遇到，比如：随着经济改革的对外开放，……假如说，国内生产总值每年平均增长率是8%。请问经过多少年，国内生产总值是2010年的2倍？你能列出什么样的式子？
生1：(1+8%)x=2。
师（板书(1+8%)x=2）：这是把2010年的国内生产总值看作1，根据题目的意思列出这样一个方程。这个方程与我们前面列出的方程属于同一个类型，也就是1.08x=2。下面，我们进一步关心一下这几个方程是否有解？
（学生很快说出前三个方程的解：（1）x=2；（2）x= -1；（3）x=12 。但是对于第四个方程不知如何下手。）
师：第四个方程有没有解？
生2：有。
师：到哪里找解呢？解为多少呢？(提出问题)
生2：可以考察函数y=2x的图象。这个函数的图象是连续的，而它的值域是所有的正实数，它又是单调递增的，必与直线y=3有且只有一个交点。所以说，有一个解。
师：他采用形数结合的方法，把这个代数问题化为图象处理，作出y=2x与y=3的图象。从图象上发现有交点，交点的横坐标就是方程的解x。想不想知道x的值是多少？
（激发学生的求知欲与学习兴趣。）
生齐答：想。
师：是多少？
生齐答：不知道。
师：这里的x是确定的，但用我们已经学习过的数又表示不出来，怎么办？大家想一下，我们有没有曾经遇到过类似的问题？（围绕问题，提出假设）（教师帮助学生共同回忆：小学1÷3，除不尽13 ；初中x2=2，x=?2 ，圆周率3.1415926…π……）
师：现在遇到2x =3，x= ? 怎么办？（收集证据，形成解释）
（对探究的一系列暗示，体现“素朴”、“本原”的思想，启发学生想到：用一个什么符号来表示它。用适当的符号表示一个研究对象，是数学的一个基本思想方法。）
师：那么，我们给它一个记号。这个值是由底数2和3唯一确定，所以把这个值记做x=log23。log是拉丁文logreth前面的缩写。读作：以2为底3的对数。这一类问题就是我们这节课将要研究的问题：（板书）对数（1）。请同学们思考对数与指数有什么关系呢？
（学生先独立思考后分组讨论）（交流和评价）
生3：在方程2x =3中求指数x，实际上已知底数与幂，求指数。
生4：对数由指数而来。
生5：对数可以看作是指数的另一种表示，一种等价表示。
感悟：这是一个用一般科学研究的方法进行数学概念探究的过程。由这个过程很自然地得到对数的符号和名称，进而再确定符号的意义。
经历了以上探究过程，学生得出：对数的性质“受制于”指数——受到指数性质的制约；在这个意义上，对数的性质是“天生的”。这也说明对数并非“全新”概念。对于进一步学习对数函数时，学生就不会再感觉到陌生与害怕。正是因为“对数从指数而来”，所以对数问题往往要转化为指数来研究，这就产生出“把对数交给指数”的法则，一切变得更加自然。
案例2  苏教版《数学》选修2-2中“导数”
投影：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10。请分别计算运动员在[0,0.5]、[1,2]、[0,6549 ]时间段的平均速度，并描述运动员在这三个时间段内的运动状态。
生：运动员在[0,0.5]时间段内平均速度为4.05m/s，说明运动员在该段时间内做上升运动。在[1,2] 时间段内平均速度为-8.2m/s，运动员在该段时间内做下降运动。在[0,6549 ]时间段的平均速度为0m/s，运动员在这段时间内做……
师：做什么运动？
生：平均速度为0，但是运动员在这段时间内并不是静止的啊。
师：平均速度的确为0，我们并没有算错，说明平均速度并不能很好的描述运动员的运动状态。
师：那我们用什么来描述运动员的运动状态更为合理呢？
（引发学生现有认知冲突，发现想要更为准确合理地描述物体的运动必须寻求一个新的知识。使学生处于愤悱状态，激发学生主动探索新知的欲望。）
问题串（逐个呈现）
问题1：你会求t=2时刻的速度（瞬时速度）吗？（学生一脸茫然）
问题2：在t∈[2,2.1]的平均速度是多少？（学生很快就解决了）
问题3：t∈[2,2.01]、[2,2.001]、[2,2.0001]、[2,2.00001]……的平均速度呢？（借助计算器组内完成）
（教师投影表格，同时介绍“Δt”。由于计算量较大，因此让学生分组用计算器完成，而后再将数值填入表内。）
问题4：通过计算，你有何发现？（组内讨论）
（学生通过表格中数据的直观呈现，发现当Δt越接近0时，平均速度 越接近常数-13.1。）
问题5：你会求运动员在t=2时刻的瞬时速度了吗？
（学生通过计算与观察，归纳出当Δt无限趋近于0时，平均速度 无限趋近于常数-13.1，这个常数就是运动员在t=2时刻的瞬时速度。）
问题6：你会求运动员在某一时刻t0的瞬时速度吗？
（用t0代替问题5中的2即可。通过以上问题的解决，学生经历了由特殊到一般，具体到抽象的过程，加深了对“逼近思想”的感悟，思维能力得到了提升。）
问题7：现在你能合理描述运动员的运动状态了吗？（学有所获、学以致用、前后呼应）
问题8：将本题中的函数h（t）改成函数 ，如何求该函数在 处的瞬时变化率？
感悟：教师给出的问题串将学生的茫然转移为顿悟：t时刻的瞬时速度可由它附近时间段的平均速度来刻画，当它附近时间段无限接近于0时，平均速度所趋近的那个常数就是物体在t时刻的瞬时速度。导数的定义是本节课的教学重点与难点，教师设置的问题串为学生主动探究铺设了台阶，把学生推向了问题的中心。随着探究的深入，一个个问题被解决，难点逐一被击破，学生“突破重围”，终于“柳暗花明”、“拨云见日”。瞬时速度的概念呈现于眼前，导数的概念呼之欲出。导数概念的本质属性被剖析的淋漓尽致。同时，学生在经历上述探究活动之后，思维能力得到了提升，良好的思维品质得到了培养。