几何变换的价值
几何变换的价值
林小红 肖运鸿 赣南师范学院
基金项目：江西省科技厅科技计划指导性项目（2009ZDG03500）。
摘要：几何变换是现代几何学的重要主题。分析和阐述几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值，有助于更加全
面地认识几何变换。
关键词：几何变换；价值；F•克莱因
变换是数学中的一个带有普遍性的概念，它指的是一个集合
到其自身的映射。所谓几何变换，就是图形（即点集）到图形的
一一映射。尽管几何变换的观念古已有之，但是在 19 世纪之前
一直没有在几何学中起多大作用。1872 年，德国数学家 F•克莱
因在受聘为爱尔朗根大学数学教授的就职演讲中提出了著名的
《爱尔朗根纲领》，该纲领第一次提出了以几何变换群统一几何
学的重要思想。克莱因以变换群对几何学进行分类特别是强调几
何变换下的不变性的思想不仅对几何学产生了深远的影响，而且
极大推动了力学、物理学、化学、计算机图形学等领域的发展。
在现代，几何变换已是几何学领域的重要主题，又是处理数
学问题的一般思想方法，还是展示数学之美的重要窗口，也是体
现数学广泛应用的极好范例，同时还是中学几何教学改革的重要
突破口。关于几何变换的具体内容，在几何学的相关著作中已有
详细的阐述，在此不再赘述。本文主要探讨几何变换的方法论价
值、美学价值、应用价值和教育价值。
1.几何变换的方法论价值
以公元前 3 世纪古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为代
表的传统平面几何提供了处理几何问题的一般方法，就是将平面
图形视为静止的图形，从既定的公理出发导出几何图形本身的内
在规律。这种方法长期以来一直都是人们普遍遵循的几何学范
式。但是，这种范式用以解决平面几何问题时经常遇到巨大的挑
战，即难以找到合适的辅助线。
19 世纪末期以后，几何变换方法得到前所未有的重视。这种
方法通过图形的运动、变化来研究图形的本质规律，改变了传统
几何静止的研究范式， 为几何学带来了新的活力。 数学家们发现，
几何变换法是一种具有普遍意义的数学思想方法，往往在解决问
题的过程中能够收到意想不到的效果。
借助几何变换法， 可以化解传统的令人想破脑壳的 “辅助线”
难题[1]，为几何论证提供一条新的更为有效的途径。对于较复杂
的平面几何问题，往往通过一个几何变换（如平移、旋转、反射
等），就可以将原来分散的几何条件相对集中，从而使条件与结
论的关联一目了然。传统意义的“辅助线”只不过是已知图形的
某个元素在几何变换下的对应元素。这样，“辅助线”就由几何
变换自然而然孵化出来，而不需要去冥思苦想一题一作了。
几何变换作为一种思想方法，其核心是充分利用图形在各种
变换下的不变性质来解决问题。现以仿射变换为例。我们知道，
仿射变换具有一系列的几何不变性。例如：仿射变换将直线变成
直线；在仿射变换下，共线点变为共线点，共点线变成共点线；
在仿射变换下，平行关系不变；在仿射变换下，共线的四个点及
共点的四条直线的交比不变，特别的，共线的三个点的简比保持
不变；等等。我们还知道，通过仿射变换，可以把一般三角形变
成正三角形、平行四边形变成正方形、椭圆变成圆。这样，利用
仿射变换的几何不变性，就可以把正三角形、正方形和圆的有关
性质分别推广到一般三角形、平行四边形和椭圆上。由此可见，
几何变换法是化一般为特殊、化繁为简、化难为易的一种有效方
法。
应当指出，几何变换法的有效运用也需要与传统思想方法的
有机结合，也就是说必须动静结合。
2.几何变换的美学价值
虽然数学是一门高度抽象的学问，但是在数学家眼中同样美
不胜收，令人陶醉。英国著名数学家罗素就说过：“数学，如果
正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的
美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方
面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高
的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满
的境地。” [2]一般认为，数学美表现为简单美、对称美、统一美
和奇异美等许多方面。
在数学的百花园中，几何变换也绽放出自己的芬芳美丽。
几何变换之对称美。在平面几何或日常生活中，会见到各种
形状的图形。有些图形具有以下的特征，就是存在一个非恒等的
合同变换（又称保距变换，即保持距离不变的变换，如平移、旋
转、轴反射等）使图形变成自身，这样的图形称为自对称图形。
自对称图形给人以对称性的美感，它在日常生活中处处可见。同
样，在其他变换下保持不变的图形也能给人以对称一样的美，不
妨称之为广义对称美。现举一例加以说明。法国数学家帕斯卡提
出了一个著名定理（后人称之为帕斯卡定理），即：圆锥曲线的
内接六边形对边交点共线，这条直线就称为帕斯卡线。当圆锥曲
线上给定相异六点后，按照它们不同的顺序进行排列，可以构成
60 个完全不同的六边形，每个六边形都可以构成一条帕斯卡直
线，60 个不同的六边形可以构成 60 条不同的帕斯卡线，这 60 条
帕斯卡线所构成的图形就称为帕斯卡构图。可以证明：在六个顶
点构成的 120 个置换中，使帕斯卡构图保持不变的实质上不同的
置换恰有 60 个。换言之，帕斯卡构图在这 60 个不同的置换下都
保持不变。由此我们可以领略到帕斯卡构图奇妙的广义对称美。
几何变换之统一美。克莱因的《爱尔朗根纲领》以变换群的
观点统一了 19 世纪发展起来的各种几何学。克莱因认为，不同
的几何学就是研究在不同变换群下的不变性。欧氏几何是研究刚
体变换群下的不变性；仿射几何是研究仿射变换群下的不变性；
射影几何是研究射影变换下的不变性。 同时， 罗巴切夫斯基几何、
黎曼几何也可视为在某种变换群下的不变性的研究。几何变换揭
示出几何学是一个统一的整体，给人以美的享受。
3.几何变换的应用价值
几何变换不仅在数学领域内有重要的应用，而且在其他领域
也有广泛的应用。
物理学中，仿射变换应用于密集物质的连续变换的理论，例
如弹性理论、流体理论、电磁场理论等等。密集物质的任意微小
元素的变化“几乎”都可以用仿射变换来刻划。
化学中，对称变换应用于对晶体进行科学的分类。对称性是
晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的对称
性往往又是互有差异的。因此，可以根据对称特征来对晶体分门
别类。
计算机图形学中，图象几何变换是数字图象处理的重要技术之
一。几何变换可以看成图像中物体（或像素）空间位置的改变，
或者说是像素的移动。图像的几何变换主要包括图像的缩放、旋
转、移动、剪取等，其中使用最频繁的是图像的缩放和旋转，它
们已被广泛应用于照片、图画、书报、医学图像、卫星遥感图像
的加工处理。为了得到立体感丰富、图像逼真的透视图，首先需
要对变换物体进行平移、旋转等变换，然后再进行中心投影的透
视变换。
4.几何变换的教育价值
F•克莱因非常关注中学数学教学改革，担任了第一届国际数
学教育委员会的主席。在克莱因几何变换思想的影响下，几何变
换逐渐渗透到西方中学几何课程中[3]。
我国传统的几何课程存在过分注重理论体系的严谨性、以公
理化的思想一贯始终的弊端，其后果是使得原本生动有趣的几何
课程显得抽象、乏味，学生厌学。在新一轮的数学课程改革中，
几何课程的内容发生了重大的变化。在《全日制义务教育数学课
程标准（实验稿）》中设置了“图形与变换”领域（2011 版与此
对应的是“图形的变化”）。将图形变换的观点和内容适当地引
入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和国际数学教育
的发展趋向。
几何变换的教育价值主要体现在四个方面[4]：
（1）有利于发展学生的空间观念。学生从现实情境出发，
学习几何变换的基本性质，欣赏和体验几何变换在现实生活中的
广泛应用。这一过程有助于学生正确把握具体物体与抽象图形的
相互转换。
（2）有利于发展学生的几何直觉，增进对数学的理解，促
进创造力的形成。
变换使得几何由静态转向动态，几何不再仅仅是对静止图形
的观察、思考和论证，几何的对象是可以操作的，例如轴对称和
折纸等。这种“从做中学几何”的方式能激发学生的学习兴趣，
提高学生的几何直觉能力，促进学生对数学的理解，激发他们的
创造力。
（3）几何变换是研究几何问题的有效工具。通过将图形平
移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何
性质，从变换的角度来思考问题，可以使很多技巧性强、难度较
大的几何问题变得简单、容易。
（4）几何变换可以作为论证的基础。通过平移、旋转、对
称、相似等几何变换，往往可以简化传统欧氏演绎几何的证明。
几何变换的应用有利于开阔学生的证题思路。
几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值越
来越得到人们的广泛认可。可以预见，几何变换还将进一步显示
其新的价值。
参考文献：
[1]萧振纲.几何变换与几何证题[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学
出版社，2010：2
[2][英]罗素.我的哲学发展[M].北京：商务印书馆，1985：193
[3]张奠宙,沈文选.中学几何研究[M].北京：高等教育出版社，
2006：118
[4]芦淑坤.图形与变换课程内容的教科书呈现研究[D].东北
师范大学，2006：5
林小红 肖运鸿 赣南师范学院
基金项目：江西省科技厅科技计划指导性项目（2009ZDG03500）。
摘要：几何变换是现代几何学的重要主题。分析和阐述几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值，有助于更加全
面地认识几何变换。
关键词：几何变换；价值；F•克莱因
变换是数学中的一个带有普遍性的概念，它指的是一个集合
到其自身的映射。所谓几何变换，就是图形（即点集）到图形的
一一映射。尽管几何变换的观念古已有之，但是在 19 世纪之前
一直没有在几何学中起多大作用。1872 年，德国数学家 F•克莱
因在受聘为爱尔朗根大学数学教授的就职演讲中提出了著名的
《爱尔朗根纲领》，该纲领第一次提出了以几何变换群统一几何
学的重要思想。克莱因以变换群对几何学进行分类特别是强调几
何变换下的不变性的思想不仅对几何学产生了深远的影响，而且
极大推动了力学、物理学、化学、计算机图形学等领域的发展。
在现代，几何变换已是几何学领域的重要主题，又是处理数
学问题的一般思想方法，还是展示数学之美的重要窗口，也是体
现数学广泛应用的极好范例，同时还是中学几何教学改革的重要
突破口。关于几何变换的具体内容，在几何学的相关著作中已有
详细的阐述，在此不再赘述。本文主要探讨几何变换的方法论价
值、美学价值、应用价值和教育价值。
1.几何变换的方法论价值
以公元前 3 世纪古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为代
表的传统平面几何提供了处理几何问题的一般方法，就是将平面
图形视为静止的图形，从既定的公理出发导出几何图形本身的内
在规律。这种方法长期以来一直都是人们普遍遵循的几何学范
式。但是，这种范式用以解决平面几何问题时经常遇到巨大的挑
战，即难以找到合适的辅助线。
19 世纪末期以后，几何变换方法得到前所未有的重视。这种
方法通过图形的运动、变化来研究图形的本质规律，改变了传统
几何静止的研究范式， 为几何学带来了新的活力。 数学家们发现，
几何变换法是一种具有普遍意义的数学思想方法，往往在解决问
题的过程中能够收到意想不到的效果。
借助几何变换法， 可以化解传统的令人想破脑壳的 “辅助线”
难题[1]，为几何论证提供一条新的更为有效的途径。对于较复杂
的平面几何问题，往往通过一个几何变换（如平移、旋转、反射
等），就可以将原来分散的几何条件相对集中，从而使条件与结
论的关联一目了然。传统意义的“辅助线”只不过是已知图形的
某个元素在几何变换下的对应元素。这样，“辅助线”就由几何
变换自然而然孵化出来，而不需要去冥思苦想一题一作了。
几何变换作为一种思想方法，其核心是充分利用图形在各种
变换下的不变性质来解决问题。现以仿射变换为例。我们知道，
仿射变换具有一系列的几何不变性。例如：仿射变换将直线变成
直线；在仿射变换下，共线点变为共线点，共点线变成共点线；
在仿射变换下，平行关系不变；在仿射变换下，共线的四个点及
共点的四条直线的交比不变，特别的，共线的三个点的简比保持
不变；等等。我们还知道，通过仿射变换，可以把一般三角形变
成正三角形、平行四边形变成正方形、椭圆变成圆。这样，利用
仿射变换的几何不变性，就可以把正三角形、正方形和圆的有关
性质分别推广到一般三角形、平行四边形和椭圆上。由此可见，
几何变换法是化一般为特殊、化繁为简、化难为易的一种有效方
法。
应当指出，几何变换法的有效运用也需要与传统思想方法的
有机结合，也就是说必须动静结合。
2.几何变换的美学价值
虽然数学是一门高度抽象的学问，但是在数学家眼中同样美
不胜收，令人陶醉。英国著名数学家罗素就说过：“数学，如果
正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的
美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方
面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高
的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满
的境地。” [2]一般认为，数学美表现为简单美、对称美、统一美
和奇异美等许多方面。
在数学的百花园中，几何变换也绽放出自己的芬芳美丽。
几何变换之对称美。在平面几何或日常生活中，会见到各种
形状的图形。有些图形具有以下的特征，就是存在一个非恒等的
合同变换（又称保距变换，即保持距离不变的变换，如平移、旋
转、轴反射等）使图形变成自身，这样的图形称为自对称图形。
自对称图形给人以对称性的美感，它在日常生活中处处可见。同
样，在其他变换下保持不变的图形也能给人以对称一样的美，不
妨称之为广义对称美。现举一例加以说明。法国数学家帕斯卡提
出了一个著名定理（后人称之为帕斯卡定理），即：圆锥曲线的
内接六边形对边交点共线，这条直线就称为帕斯卡线。当圆锥曲
线上给定相异六点后，按照它们不同的顺序进行排列，可以构成
60 个完全不同的六边形，每个六边形都可以构成一条帕斯卡直
线，60 个不同的六边形可以构成 60 条不同的帕斯卡线，这 60 条
帕斯卡线所构成的图形就称为帕斯卡构图。可以证明：在六个顶
点构成的 120 个置换中，使帕斯卡构图保持不变的实质上不同的
置换恰有 60 个。换言之，帕斯卡构图在这 60 个不同的置换下都
保持不变。由此我们可以领略到帕斯卡构图奇妙的广义对称美。
几何变换之统一美。克莱因的《爱尔朗根纲领》以变换群的
观点统一了 19 世纪发展起来的各种几何学。克莱因认为，不同
的几何学就是研究在不同变换群下的不变性。欧氏几何是研究刚
体变换群下的不变性；仿射几何是研究仿射变换群下的不变性；
射影几何是研究射影变换下的不变性。 同时， 罗巴切夫斯基几何、
黎曼几何也可视为在某种变换群下的不变性的研究。几何变换揭
示出几何学是一个统一的整体，给人以美的享受。
3.几何变换的应用价值
几何变换不仅在数学领域内有重要的应用，而且在其他领域
也有广泛的应用。
物理学中，仿射变换应用于密集物质的连续变换的理论，例
如弹性理论、流体理论、电磁场理论等等。密集物质的任意微小
元素的变化“几乎”都可以用仿射变换来刻划。
化学中，对称变换应用于对晶体进行科学的分类。对称性是
晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的对称
性往往又是互有差异的。因此，可以根据对称特征来对晶体分门
别类。
计算机图形学中，图象几何变换是数字图象处理的重要技术之
一。几何变换可以看成图像中物体（或像素）空间位置的改变，
或者说是像素的移动。图像的几何变换主要包括图像的缩放、旋
转、移动、剪取等，其中使用最频繁的是图像的缩放和旋转，它
们已被广泛应用于照片、图画、书报、医学图像、卫星遥感图像
的加工处理。为了得到立体感丰富、图像逼真的透视图，首先需
要对变换物体进行平移、旋转等变换，然后再进行中心投影的透
视变换。
4.几何变换的教育价值
F•克莱因非常关注中学数学教学改革，担任了第一届国际数
学教育委员会的主席。在克莱因几何变换思想的影响下，几何变
换逐渐渗透到西方中学几何课程中[3]。
我国传统的几何课程存在过分注重理论体系的严谨性、以公
理化的思想一贯始终的弊端，其后果是使得原本生动有趣的几何
课程显得抽象、乏味，学生厌学。在新一轮的数学课程改革中，
几何课程的内容发生了重大的变化。在《全日制义务教育数学课
程标准（实验稿）》中设置了“图形与变换”领域（2011 版与此
对应的是“图形的变化”）。将图形变换的观点和内容适当地引
入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和国际数学教育
的发展趋向。
几何变换的教育价值主要体现在四个方面[4]：
（1）有利于发展学生的空间观念。学生从现实情境出发，
学习几何变换的基本性质，欣赏和体验几何变换在现实生活中的
广泛应用。这一过程有助于学生正确把握具体物体与抽象图形的
相互转换。
（2）有利于发展学生的几何直觉，增进对数学的理解，促
进创造力的形成。
变换使得几何由静态转向动态，几何不再仅仅是对静止图形
的观察、思考和论证，几何的对象是可以操作的，例如轴对称和
折纸等。这种“从做中学几何”的方式能激发学生的学习兴趣，
提高学生的几何直觉能力，促进学生对数学的理解，激发他们的
创造力。
（3）几何变换是研究几何问题的有效工具。通过将图形平
移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何
性质，从变换的角度来思考问题，可以使很多技巧性强、难度较
大的几何问题变得简单、容易。
（4）几何变换可以作为论证的基础。通过平移、旋转、对
称、相似等几何变换，往往可以简化传统欧氏演绎几何的证明。
几何变换的应用有利于开阔学生的证题思路。
几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值越
来越得到人们的广泛认可。可以预见，几何变换还将进一步显示
其新的价值。
参考文献：
[1]萧振纲.几何变换与几何证题[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学
出版社，2010：2
[2][英]罗素.我的哲学发展[M].北京：商务印书馆，1985：193
[3]张奠宙,沈文选.中学几何研究[M].北京：高等教育出版社，
2006：118
[4]芦淑坤.图形与变换课程内容的教科书呈现研究[D].东北
师范大学，2006：5
