如何确定不等式中的参数范围

如何确定不等式中的参数范围
肖常定
（兴义一中，贵州  黔西南  562400）  
    摘  要：确定不等式中的参数范围，是高中数学教学中的难点，也是高考的重点、热点。求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧。这类问题常常使学生在学习中感到束手无策，即使能解，过程也十分繁锁，或解而不全，针对这种情况，本文给出一些基本解法，加以探讨。
关键词：参数；不等式；主元；数形结合；单调性
一、分离参数法
分离参数法就是通过不等式的同解变形把参数分离出来，转化为形如 或
 的形式，再求分离得到的函数 的最值，得参数 的范围，即 或 。这种方法是求参数范围的一种重要方法。
例1、 已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
    分析：分离参数 ，转化为利用基本不等式求最小值
解：由题意得，当 时，恒有 成立
设
则有
当且仅当 ，即 时，等号成立
  的最小值是4
 的取值范围是 ）
例2、设不等式 对任意正数 ， 恒成立，求 的取值范围。
解：由 知，
将不等式变形为 ，令 ，则
且  
 ，故 得取值范围是
二、变更主元法
变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。此种解法可以说是一种逆向思维法。
例3、设对所有实数 ，不等式  恒成立，求实数 的取值范围。
解：视 为常量， 为变量，将原不等式变形为
 
即   （1）
 
 （1）式可化为   （2）
  时，             即
解得 ，故 得取值范围是 
   说明：常规方法是根据关于 的不等式恒成立的条件，列出参数 所满足的不等式组，通过解不等式求 的范围。本题通过将 与 的位置互换，视 为参数， 为变量，则可使解题过程简捷多了。
三、数形结合法
    将不等式中的数量关系赋予几何意义，往往变得非常直观、简单。通过“数”与“形”的转换，可使不等式中的参数范围简捷明快地求出。
例4、不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围。
解：令 ， ，
在同一坐标系中作两个函数的图像如图所示，
当直线 与半圆 相切时，
圆心 到直线 的距离为1，
 ，解得 ，
  的解集为空集，
四、利用函数的单调性求参数的范围
例5、设 ，当 时，都有 恒成立，求 的取值范围。
解：设 ，
则问题可转化为当 时， 恒成立。
（1）当 ，即 时，对一切 时，总有 成立。
（2）当 时，由图可知 的充要条件是
综上可知， 的取值范围是
参考文献：
[1]李登印.参数法[J].高中数学解题方法精要,1998.
[2]张腊华.含参数不等式中参数取值范围的求解策略[J].高中数学教与学,2013,(2).