基于模糊关系矩阵的多目标模糊优选决策模型
基于模糊关系矩阵的多目标模糊优选决策模型
黄伟杰 李慧婧
（珠江水利委员会珠江水利科学研究院 广东珠江 510611）
【摘要】针对现有的模糊关系矩阵排序算法只是在一定的优化
准则条件下进行排序，难以进行模糊关系的有效性进行检验，本文
提出分两阶段构建偏好关系矩阵，首先用三标度法构造模糊排序一
致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标度语气算子得到
模糊关系矩阵。应用偏差最小平方法分别得到评价目标的权重和方
案的相对优属度，综合运用模糊优选模型得到方案的优劣排序。
【关键词】模糊关系矩阵；多目标决策；权重；模糊优选
1. 引言
多目标决策问题是决策者针对多个目标，对有限方案集进行综
合评价后，对方案集排序并选出最满意方案。在决策分析中，为了
得到最终的方案排序结果，常常决策者给出的是关于两两方案比较
的偏好信息，由于决策问题的复杂性，决策者很难直接给出所有方
案的排序结果，但对两个方案的优劣容易作出判断，因此研究带有
两两方案比较偏好信息形式的决策问题就成为决策分析中的一个热
点问题。决策者给出的两两方案比较的偏好信息，可由一个判断矩
阵来构成，从判断矩阵中元素表示方式大致可分为两大类：一类基
于互反性的AHP（Analytic Hierarchy Process）判断矩阵[1] ；另一
类是基于互补性的模糊关系矩阵[2]。基于互补性的模糊关系矩阵由
于符合我国的思维习惯[3]，近年来受到人们的关注，涌现了一些最
优化排序方法[3~6]，这些方法大都是从完全一致性定义出发，考虑
到不同的精度要求和优化准则的排序方法。在给出两两比较的偏好
信息时，决策者一方面由于受到知识结构、判断水平、个人偏好和
标度掌握等因数的影响，很难给出满足完全一致性的模糊关系矩阵，
另一方面优化排序算法只是在一定优化准则下的排序方法，难以对
决策者给出的模糊关系矩阵的优劣作出判断，往往导致决策的重大
偏差。本文提出分两阶段构造偏好关系矩阵方法，首先用三标度法
构造偏好排序一致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标
度语气算子得到模糊关系矩阵。这样既简便有效地解决了排序的有
效性，又避免了三标度法存在的判断信息、一致性和积累优势度等
信息的损失。将事物目标的重要性和优越性分离，应用文献[3] 提
出的加权最小平方法求解目标的重要性和方案的优越性，综合运用
模糊优选[4] 得到方案的优劣排序。
2. 有序模糊关系矩阵的确定[2]
设有n 个决策方案X={X1，X2，…，Xn} ∈ Rm 组成方案集，
每个方案有m 个指标记为指标集A={A1，A2，…，Am }。对指标
集A 就“重要性”进行二元比较的定性排序，得指标集重要性二
元比较排序一致性标度矩阵E。
定义1 设指标集A 中的元素Ak 与Al 就重要性作二元比较，若：
（1）如果Ak 比Al 重要，则ekl=1，elk=0
（2）如果Ak 比Al 一样重要，则ekl=elk=0.5
（3）如果Al 比Ak 重要，则ekl=0，elk=1
其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
定义2 设指标集 关于重要性的二元比较矩阵
（1）
满足 （2）
则称 为指标集 重要性二元比较排序标度矩阵。
定理1 指标集A 重要性二元比较的排序标度矩阵E 为排序一
致性标度矩阵的充分必要条件[3] 为：①若ehk>ehl，有elk>ekl ；②若
ehk<ehl，有elk<ekl ；③若ehk=ehl=0.5，有elk=ekl=0.5 ；
证略
定义3 在建立排序一致性标度矩阵的基础上就指标集重要性进
行二元比较：
（1）如果ekl=1，指标Ak 对Al 就重要性进行二元比较，得二元
比较模糊标度βkl。
（2）如果ekl=0，则βkl=1-βlk
（3）如果ekl=0.5，则βkl=0.5
其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
得到的二元比较矩阵
（3）
称为有序模糊关系矩阵。
其中：二元比较模糊标度βkl 与语气算子的关系见表1。
表1 语气算子与定量标度间的线性关系
语气
算子
同样稍稍略为较为明显显著十分非常极其极端
无可
比拟
定量
标度0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1
3. 目标权重的确定
假设有序偏好关系矩阵满足完全一致性，则根据完全一致性偏
好矩阵的性质有：若目标重要性的排序向量为 ，满
足 ，则必满足
（4）
即对任意两指标Ai 与Aj 的比较有：
（5）
变换可得： （6）
由 ，可得：
（7）
（8）
即为： （9）
若有指标Ac 存在βcj>0.5，j=1，2，…，m。则Ac 为最重要指标，
式（9）就可变换为
（10）
不妨设最重要指标为A1，则式（10）即为文献[2] 提出的简捷算法。
由于受到客观事物模糊性和决策者知识结构、判断水平、等主
观因素的限制，决策者很难给出满足完全一致性的偏好关系矩阵。
若偏好关系矩阵不满足完全一致性，则决策者就指标Ai 与Aj 二元
对比作出判断的偏差为δij=ωi-βij（ωi+ωj），则决策者作出的模
糊偏差矩阵的偏差可用二元对比偏差的平方和表示：
（11）
其中指标权重ωi 用式（9）确定。
若d=0，表明偏好关系矩阵满足完全一致性，若d>0，表明偏
好关系矩阵为非完全一致性矩阵，则可建立决策者对所有二元对比
的加权距离平方和最小的非线性规划模型，
（12）
（13）
用矩阵表示为：
（14）
（15）
其中： （16）
（17）
（18）
建立Lagrange 函数：
（19）
令
得： （20）
（21）
参照权的最小平方法[6]，证明模型求解的合理性。
4. 多目标模糊优选模型
若决策集中有m1 个定性目标，方案集就定性目标Ak （k=1，2，…，
m1）的“优越性”进行二元比较，类似指标的“重要性”比较，得
方案集的目标Ak 优越性的二元比较排序一致性标度矩阵Fk=（fkij）
n×n，并在该矩阵基础上进行二元比较得目标Ak 方案集的优越性有
序二元比较矩阵ρk=（ρkij） n×n，令 ，i=1，
2，…，n。统计决策者作出二元对比偏差的平方和
，如果Dk>0，则建立非线性规划模型
（22）
s.t. （23）
解得： （24）
其中： （25）
定性目标Ak 就优越性而言为越大越优，则定性目标Ak 的相对
优属度。
（26）
就定量指标，由于不同的评估指标在数量级上是各不相同的，
必须将其进行规范化，根据定量目标的性质可按效益型、成本型和
适中型指标确定目标的相对优属度：
效益型指标 （27）
成本型指标 （28）
适中型指标 （29）
由模糊优选模型可得方案Xj 的相对优属度uj
（30）
其中： ， 分别为方案集的理想“优”方案和理
想“劣”方案。
排序方案集的uj，即得到方案集的优劣排序。
5. 应用实例
三门峡水库在某次洪水调度中拟定了三个可行方案。考虑三个
定量目标：①水库下游花园口洪峰流量，②水库调洪最高水位，③
水库泥沙淤积。两个定性目标：④下游防护地区的防洪风险，⑤水
库防洪风险。
表1 给出三门峡水库调度系统各方案的花园口洪峰、水库调洪
最高水位、库区泥沙淤积目标特征值。
表1 三门峡水库防洪调度各方案的目标特征值
Table 1 Objective eigenvalue for three flood-control dispatching
programs of Sanmenxia reservoir
目标
目标特征值
方案1 方案2 方案3 方案4 方案5
（1）花园口洪峰（m3/s）
（2）水库调洪最高水位（m）
（3）库区泥沙淤积（104t）
10000
306.00
6.5
9000
308.00
8.0
8500
310.0
9.0
8300
312.00
10.0
8000
313.5
13.0
⑴确定目标权重
决策者经仔细考虑，给出5 个目标就重要性的二元比较排序标
度矩阵
可以判定出该矩阵满足排序一致性条件，即为二元比较排序一
致性标度矩阵，决策者就ekl=1 元素，经认真考虑，给出二元比较
模糊标度βkl，然后令ekl=0 元素的模糊标度为βkl=1-βlk，ekl=0.5
元素的模糊标度为βkl=0.5。其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
得有序模糊关系矩阵
由式（21）得目标权重：
⑵确定目标相对隶属度
现在先来确定目标④关于五个方案的目标相对优属度。显然，
方案的花园口洪峰越小，下游防洪风险越小，则可得方案集就目标
④的排序一致性标度矩阵
经过考虑认为：得方案集就目标④的有序模糊关系矩阵
由式（24）得目标④的优越性值：
同样可得目标⑤的优越性值：
由于目标①、③为越小越优目标，目标②、④、⑤为越大越优
目标。
则可得方案集指标相对隶属度：（下转第325 页）
黄伟杰 李慧婧
（珠江水利委员会珠江水利科学研究院 广东珠江 510611）
【摘要】针对现有的模糊关系矩阵排序算法只是在一定的优化
准则条件下进行排序，难以进行模糊关系的有效性进行检验，本文
提出分两阶段构建偏好关系矩阵，首先用三标度法构造模糊排序一
致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标度语气算子得到
模糊关系矩阵。应用偏差最小平方法分别得到评价目标的权重和方
案的相对优属度，综合运用模糊优选模型得到方案的优劣排序。
【关键词】模糊关系矩阵；多目标决策；权重；模糊优选
1. 引言
多目标决策问题是决策者针对多个目标，对有限方案集进行综
合评价后，对方案集排序并选出最满意方案。在决策分析中，为了
得到最终的方案排序结果，常常决策者给出的是关于两两方案比较
的偏好信息，由于决策问题的复杂性，决策者很难直接给出所有方
案的排序结果，但对两个方案的优劣容易作出判断，因此研究带有
两两方案比较偏好信息形式的决策问题就成为决策分析中的一个热
点问题。决策者给出的两两方案比较的偏好信息，可由一个判断矩
阵来构成，从判断矩阵中元素表示方式大致可分为两大类：一类基
于互反性的AHP（Analytic Hierarchy Process）判断矩阵[1] ；另一
类是基于互补性的模糊关系矩阵[2]。基于互补性的模糊关系矩阵由
于符合我国的思维习惯[3]，近年来受到人们的关注，涌现了一些最
优化排序方法[3~6]，这些方法大都是从完全一致性定义出发，考虑
到不同的精度要求和优化准则的排序方法。在给出两两比较的偏好
信息时，决策者一方面由于受到知识结构、判断水平、个人偏好和
标度掌握等因数的影响，很难给出满足完全一致性的模糊关系矩阵，
另一方面优化排序算法只是在一定优化准则下的排序方法，难以对
决策者给出的模糊关系矩阵的优劣作出判断，往往导致决策的重大
偏差。本文提出分两阶段构造偏好关系矩阵方法，首先用三标度法
构造偏好排序一致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标
度语气算子得到模糊关系矩阵。这样既简便有效地解决了排序的有
效性，又避免了三标度法存在的判断信息、一致性和积累优势度等
信息的损失。将事物目标的重要性和优越性分离，应用文献[3] 提
出的加权最小平方法求解目标的重要性和方案的优越性，综合运用
模糊优选[4] 得到方案的优劣排序。
2. 有序模糊关系矩阵的确定[2]
设有n 个决策方案X={X1，X2，…，Xn} ∈ Rm 组成方案集，
每个方案有m 个指标记为指标集A={A1，A2，…，Am }。对指标
集A 就“重要性”进行二元比较的定性排序，得指标集重要性二
元比较排序一致性标度矩阵E。
定义1 设指标集A 中的元素Ak 与Al 就重要性作二元比较，若：
（1）如果Ak 比Al 重要，则ekl=1，elk=0
（2）如果Ak 比Al 一样重要，则ekl=elk=0.5
（3）如果Al 比Ak 重要，则ekl=0，elk=1
其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
定义2 设指标集 关于重要性的二元比较矩阵
（1）
满足 （2）
则称 为指标集 重要性二元比较排序标度矩阵。
定理1 指标集A 重要性二元比较的排序标度矩阵E 为排序一
致性标度矩阵的充分必要条件[3] 为：①若ehk>ehl，有elk>ekl ；②若
ehk<ehl，有elk<ekl ；③若ehk=ehl=0.5，有elk=ekl=0.5 ；
证略
定义3 在建立排序一致性标度矩阵的基础上就指标集重要性进
行二元比较：
（1）如果ekl=1，指标Ak 对Al 就重要性进行二元比较，得二元
比较模糊标度βkl。
（2）如果ekl=0，则βkl=1-βlk
（3）如果ekl=0.5，则βkl=0.5
其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
得到的二元比较矩阵
（3）
称为有序模糊关系矩阵。
其中：二元比较模糊标度βkl 与语气算子的关系见表1。
表1 语气算子与定量标度间的线性关系
语气
算子
同样稍稍略为较为明显显著十分非常极其极端
无可
比拟
定量
标度0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1
3. 目标权重的确定
假设有序偏好关系矩阵满足完全一致性，则根据完全一致性偏
好矩阵的性质有：若目标重要性的排序向量为 ，满
足 ，则必满足
（4）
即对任意两指标Ai 与Aj 的比较有：
（5）
变换可得： （6）
由 ，可得：
（7）
（8）
即为： （9）
若有指标Ac 存在βcj>0.5，j=1，2，…，m。则Ac 为最重要指标，
式（9）就可变换为
（10）
不妨设最重要指标为A1，则式（10）即为文献[2] 提出的简捷算法。
由于受到客观事物模糊性和决策者知识结构、判断水平、等主
观因素的限制，决策者很难给出满足完全一致性的偏好关系矩阵。
若偏好关系矩阵不满足完全一致性，则决策者就指标Ai 与Aj 二元
对比作出判断的偏差为δij=ωi-βij（ωi+ωj），则决策者作出的模
糊偏差矩阵的偏差可用二元对比偏差的平方和表示：
（11）
其中指标权重ωi 用式（9）确定。
若d=0，表明偏好关系矩阵满足完全一致性，若d>0，表明偏
好关系矩阵为非完全一致性矩阵，则可建立决策者对所有二元对比
的加权距离平方和最小的非线性规划模型，
（12）
（13）
用矩阵表示为：
（14）
（15）
其中： （16）
（17）
（18）
建立Lagrange 函数：
（19）
令
得： （20）
（21）
参照权的最小平方法[6]，证明模型求解的合理性。
4. 多目标模糊优选模型
若决策集中有m1 个定性目标，方案集就定性目标Ak （k=1，2，…，
m1）的“优越性”进行二元比较，类似指标的“重要性”比较，得
方案集的目标Ak 优越性的二元比较排序一致性标度矩阵Fk=（fkij）
n×n，并在该矩阵基础上进行二元比较得目标Ak 方案集的优越性有
序二元比较矩阵ρk=（ρkij） n×n，令 ，i=1，
2，…，n。统计决策者作出二元对比偏差的平方和
，如果Dk>0，则建立非线性规划模型
（22）
s.t. （23）
解得： （24）
其中： （25）
定性目标Ak 就优越性而言为越大越优，则定性目标Ak 的相对
优属度。
（26）
就定量指标，由于不同的评估指标在数量级上是各不相同的，
必须将其进行规范化，根据定量目标的性质可按效益型、成本型和
适中型指标确定目标的相对优属度：
效益型指标 （27）
成本型指标 （28）
适中型指标 （29）
由模糊优选模型可得方案Xj 的相对优属度uj
（30）
其中： ， 分别为方案集的理想“优”方案和理
想“劣”方案。
排序方案集的uj，即得到方案集的优劣排序。
5. 应用实例
三门峡水库在某次洪水调度中拟定了三个可行方案。考虑三个
定量目标：①水库下游花园口洪峰流量，②水库调洪最高水位，③
水库泥沙淤积。两个定性目标：④下游防护地区的防洪风险，⑤水
库防洪风险。
表1 给出三门峡水库调度系统各方案的花园口洪峰、水库调洪
最高水位、库区泥沙淤积目标特征值。
表1 三门峡水库防洪调度各方案的目标特征值
Table 1 Objective eigenvalue for three flood-control dispatching
programs of Sanmenxia reservoir
目标
目标特征值
方案1 方案2 方案3 方案4 方案5
（1）花园口洪峰（m3/s）
（2）水库调洪最高水位（m）
（3）库区泥沙淤积（104t）
10000
306.00
6.5
9000
308.00
8.0
8500
310.0
9.0
8300
312.00
10.0
8000
313.5
13.0
⑴确定目标权重
决策者经仔细考虑，给出5 个目标就重要性的二元比较排序标
度矩阵
可以判定出该矩阵满足排序一致性条件，即为二元比较排序一
致性标度矩阵，决策者就ekl=1 元素，经认真考虑，给出二元比较
模糊标度βkl，然后令ekl=0 元素的模糊标度为βkl=1-βlk，ekl=0.5
元素的模糊标度为βkl=0.5。其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
得有序模糊关系矩阵
由式（21）得目标权重：
⑵确定目标相对隶属度
现在先来确定目标④关于五个方案的目标相对优属度。显然，
方案的花园口洪峰越小，下游防洪风险越小，则可得方案集就目标
④的排序一致性标度矩阵
经过考虑认为：得方案集就目标④的有序模糊关系矩阵
由式（24）得目标④的优越性值：
同样可得目标⑤的优越性值：
由于目标①、③为越小越优目标，目标②、④、⑤为越大越优
目标。
则可得方案集指标相对隶属度：（下转第325 页）
