“发现法”在初中数学中的应用

“发现法”在初中数学中的应用
唐华金   
（东台市头灶镇曹丿中学，江苏  盐城  224247）

摘  要：教学不是直接将所要讨论的数学问题的结论告诉学生，而是让学生在教师设置的问题情境中，通过自身的活动，经历一次科学家发现新结论的思维过程。“发现法”教学有利于学生的理解和记忆，可提高学生学习的积极性和参与意识，能够培养学生的创造性思维能力，尤其是对年龄较小的初中生，更适宜用“发现法”教学。
关键词：发现法；初中数学；应用

一、归纳发现法
数学家拉普拉斯说过：“最简单的关系是最具有普遍性的关系，而这正是归纳法的论据。”在课堂教学中，教师为了使学生发现所要学习的数学知识，要精心创设问题情境。归纳发现法可分为以下步骤：
（1）举特例；
（2）归纳、总结特例的共同规律；
（3）根据特例的规律猜想整体的规律；
（4）证明猜想的规律的正确性。
这种发现法在教学中的应用较多，尤其是在新《新课程标准》中，非常强调引导学生用归纳法去发现数学定理、公式、解题规律等。
例如，问题：在某次活动上有15位互不认识的人，他们彼此之间要同彼此相互握手，那么共有多少次握手呢？
对于这个问题，初中生不一定会用高中的排列、组合知识来解决，但也不一定就找不到解法，有的学生就可能从简单的表格来寻找一个规律。
人数 1 2 3 4 5 6 ............ 15
握手次数 0 1 3 6 10 15 ............ 105
二、在讲授新课中的发现教学法
教师在授课过程中一定要为学生创设再发现的机会和条件，不能让学生机械接受，死板教条。学生学习的积极性与主动性的调动是决定于任课教师的，在新课授予过程中探索、发现是逐渐培养学生的发现能力和探索精神的重要途径。
例如，在探究数学一元二次方程根与系数的关系的教学时，教师可以先让学生求出多个一元二次方程的解，紧接着引导学生发现这些根与系数存在着什么样的关系，从而让学生自己猜测出x1•x2=c/a，在学生猜出答案之后，教师可以用求根方程证明结论，从而自然而然得出韦达定理。
也可以反过来，教师先提问学生求根公式，再根据学生提供的求根公式引导学生观察发现：
x1=—b/2a+ ，x2=—b/2a— 。并根据求根公式对x1、x2作四则运算之后，最为基础的“x1+x2=—b/a，x1•x2=c/a”整理出来作为定理。
三、在解题过程中进行发现法教学
很多初中学生在面对教师给出的完美的解法的时候，往往从双眼中流露着无奈而又自卑的神情，他们无可奈何，感觉自己无能为力的题目竟如此得出了答案。所以，在数学题的解答过程中，教师应当有意保护学生的渴望完美求解的欲望，努力将学生引导到解决问题的思路上来，以现有的解法为基础，发现出另外的更加简明、方便的解法，从而提升自己的解题能力。
例如，在解方程的教学中，教师可以给出如下例题：
解方程：x2—3x+2=0，x2+7x+6=0，教师在讲授这两个题目时，可以进行如下教学设计：
教师：同学们解答完之后请回答下列问题：
（1）方程的两个根是什么？（生：x1=1，x2=2）
（2）观察方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是多少？（学生：它们的和为0）
（3）对于方程，如果用a表示二次项系数1，b表示一次项系数—3，c表示常数项2，请同学们试着将方程的另一个根x2=2用a、b、c的代数式表示，则x2=（）。（学生：x2=c/a）
（4）请同学们再解方程3x2—2x—1=0，然后请同学们再任写几个系数满足a+b+c=0且a≠0的一元二次方程，自己解解看，你能发现它们的根有什么规律？（学生：满足条件的方程的根是x1=1，x2=c/a）
对于第二个方程仿照第一个方程进行启迪诱导。
最后教师总结：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有如下性质：
（A）a+b+c=0，那么必定有一个根是1，另外一个根为c/a；反之，弱国有一个根是1，则a+b+c=0。
（B）如果a—b+c=0，那么必定有一个根为—1，另外一个根为—c/a；反之，如果有一个根为—1，则a—b+c=0。
请同学们课后证明这两个性质，并且应用它解决下列习题：
已知方程（1995x）2—1994•1996x—1=0的较大根为α，x2+1994x—1995=0的较为小的根为β，求α－β的值？
从上述的解题教学过程中，我们可以看出，并不一定要做很多题目才能对学生的解题技巧或者是解题方法的掌握有所帮助，教师设计恰当的问题，引导学生从具体解题的过程中寻找一般的规律，不仅解决了教材中的知识的基本应用问题，而且，使得学生在摸索、发现规律的过程中，思维能力不断提高。
四、在课外活动中使用发现教学法
初中生在课外活动中都是充满了求真、求实、和创新欲望的。这样的欲望作为初中数学教师一定要让学生满足，在教学中应该精心选择一些富有创新性、探究性的课题，进一步引导学生能够在发现中去学习新知，这也是发现教学的重要途径之一。
例如，通过研究平面内若干个图形的镶嵌，让学生更加深刻地了解有关正多边形的一些性质，特别是在理解正多边形的内角和的方面有一定的提高。在平面内有哪几种图形可以彻底地毫无间隙的镶嵌上可以进一步深化，通过数学发现法来引导学生，让学知道只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形，这样以来，不但加强了学生的思维逻辑性，加强了对数学知识的理解，而且还在体验中发现更多自己感兴趣的数学知识和感受数学美。
五、结语
    现代构建主义理论认为：“数学应该被儿童再发现或者在建构，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作，交流，通过反省来主动构建，教师的重要任务就是按照学生的思维模式，建立学生的数学意义，促进他们有意义的发现学习。”因此，数学“发现法”教学是初中数学教学的有效选择。