逆向思维在高中数学解题中的一些应用

逆向思维在高中数学解题中的一些应用
谈敏
（南京市秦淮中学，江苏  南京  211100）
摘  要：在高中数学解题过程中，帮助学生培养逆向思维能力，引导他们正确而巧妙地利用逆向思维，不仅有助于学生突破思维定势，改变其思维结构，进入新的境界，还可以使他们的思维灵活性和深刻性得到培养，分析和解决问题的综合能力也能进一步得到提高。本文从定义、定理、公式等几方面的应用对逆向思维在数学解题中的应用进行了论述。
关键词：逆向思维；高中数学解题；应用

逆向思维是一种与正向思维相反，从问题的反面进行思考的思维方式，也就是把命题的结论作为出发点，进而找寻结论成立的充要条件或者充分条件。在高中数学的教学过程中，教师应该意识到逆向思维的重要性，结合教材，培养学生的逆向思维能力，积极地引导学生在学习过程中正确有效的利用逆向思维，由根索源，反向思考，激发学生的创新意识，完善他们的综合知识，更好地完成教学目标，提升学生的分析能力。本文作者通过对实际数学问题的解析，探讨了逆向思维在数学解题过程中的应用。
一、逆向思维的含义和培养
逆向思维是一种发散性思维，是指人们从问题的反面出发，从问题的对立面去思考问题的答案。逆向思维的特点是另辟蹊径，从不同的角度思考问题，思路宽广，灵活多变，考虑精细，且答案新颖。逆向思维帮助学生突破思维定势，产生新的思考方法，发现新知识，开拓认识的新领域，形成新的思考方法以及新的科学理论的思维方式。在高中数学学习过程中，培养学生逆向思维能力的关键在于挖掘数学知识的逆向思维素材，并选择典型的逆向思维范例。其主要途径有：1、通过数学定义的逆向思维。例如，关于异面直线的定义：不在一个平面内的任何两条直线都是异面关系；2、通过数学定理的逆向思维。虽然并非所有定理的逆命题都正确，但是引导学生对定理的逆命题进行探讨，验证其是否正确，是指导学生研究新问题的有效方法；3、通过数学公式的逆向思维。公式的两边是等价的，其本身是双向的，平时学生在运用公式时总是习惯地由左至右，化繁为简。但在一些数学习题中对公式进行逆向应用，由右到左，由简到繁能更好地对问题进行解答，有助于学生形成解题技巧，而且又利于提高他们的解题能力，培养其逆向思维能力，使他们的思维得到锻炼；4、在数学基本概念的学习过程中培养学生的逆向思维能力。例如在对“直角三角形”的定义进行讲解时，教师可以采用如下的形式：正向思维：有一个角为90度的三角形称之为直角三角形。逆向思维：直角三角形中必须有一个角为90度。另外，在教学过程中，教师要明确哪些定理的逆命题是真命题；5、通过反证法，分析法，待定系数法等培养学生的逆向思维能力。
二、逆向思维在高中数学解题中的一些具体应用实例
（一）逆用定义
以双曲线定义为例，若点P的轨迹是双曲线，则等式 恒成立。
例1（福建卷）已知F1，F2是双曲线 （a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
 
解：因为△MF1F2是正三角形且边MF1的中点在双曲线上，则设设边MF1的中点为P，有角F1PF2=90°，角PF1F2=60°，从而
所以根据双曲线的定义可知
 解得 ，故选D。
 点评：当已知是何种圆锥曲线且与两焦点有关时，可直接利用定义求解，以达到简缩思路、简化运算的目的。
（二）定理的逆用
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
例2 如图1所示，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2:2:3:1，且角B=90°，求角BAD的度数。
解：设AD=a，则AB=BC=2a，CD=3a，连接AC，三角形ABC为等腰三角形，所以角BAC=45°，在Rt三角形中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=2AB2=8a2，又因为AD2=a2，CD2=9a2，所以AC2+AD2=CD2。
由勾股定理的逆定理知三角形CAD是直角三角形。
所以角CAD=90°，角BAD=角BAC+角CAD=45°+90°=135°。

图1

（三）公式的逆用
根据所求式子的结构特征及要求，把已知式子变成公式的变形形式或逆用形式，再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式

可以变形为

即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系，若α+β是特殊角，可直接找出它们的关系。
例3：求tan17°+tan43°+    tan17°•tan43°的值。
分析：注意17°+43°=60°
解：因为   =tan60°=tan（17°+43°）=（tan17°+tan43°）／（1-tan17°tan43°）
所以 tan17°+tan43°=    （1-tan17°tan43°）
所以 原式=   （1-tan17°tan43°）+    tan17°•tan43°=    。

（四）反证法与分析法，待定系数法等的应用
反证法，分析法和待定系数法等重要的数学方法也都是通过逆向思维体现出来的。
例4：已知b=b1+b2，其中b1与a成正比例关系，b2与a成反比例关系，并且当a=1时，b=4；a=2时，b=5，求b与a之间存在的函数关系。
解：依题意，设b1=k1a,b2=k2／a，则b=b1+b2=k1a+k2／a。由已知条件可列方程组

解得k1=2，k2=2。因此，b与a之间的函数关系式为b=2a+2／a。
综上所述，在数学解题中，当应用常规正向思维受阻，或者需要迂回曲折才能找到答案时，改为应用逆向思维，往往能得到更为简单的解答，开拓出新的解答途径。因此，在平时的教学过程中，重视对学生逆向思维能力的培养，可以激发学生的学习兴趣，培养其数学思维，以及思维的敏捷性，并且有助于提高学生的综合能力，开发其智力。

参考文献：
[1]顾秀明.浅谈中学数学中逆向思维方法的应用—以定义、定理、公式的逆用为例[J].理科爱好者(教育教学),2009,1(4).
[2]张恩祥.试论逆向思维在高中数学中的应用[J].理科爱好者(教育教学版),2012,4(4).
[3]顾芹.巧用逆向思维求解数学难题[J].才智, 2012(32).