常见高中数学思想方法例谈

常见高中数学思想方法例谈

王云冰

（扬中新坝中学，江苏  镇江  212211）  

摘  要：数学思想来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。数学思想方法是数学教学的核心，是数学素养的重要内容之一，学生只有掌握了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，培养数学思维。所以在平时的教学中，应注重数学思想方法的渗透。

关键词：高中数学；思想方法；输血思维

一、分类讨论思想方法

例1    已知 ，函数 ，试解关于 的不等式

[分析]  当 时，函数 是关于 的一次函数， 即 ，

为关于 一次不等式，解得

当 时，函数 是关于 的二次函数， 即 ，为关于 二次不等式，继续对 讨论

若 时，不等式化为 ，解得

若 时，不等式化为 ，解得

[小结]   分类讨论要做到“不重不漏”，考虑问题要周到缜密，对相关知识点涉及的概念、定理、结论成立的条件要牢固把握，这样才能在解题时思路清晰，才知道何时必须经行分类讨论，而何时无需讨论，从而可以知道怎样讨论。

例2   设等比数列 的公比为 ，前 项和 ，求 的取值范围。

[分析]  为等比数列，且前 项和 ，

        ,且

        当 时， ；

        当 时， ，即

       上式等价于 或     所以 或

        综上

[小结]   在应用等比数列前 项和的公式时，要注意公式分为 和 两种情况，本题正是分类讨论中运用定义、概念和性质是分类给出的体现，注意条件是否满足，要逐个验证，分类讨论。

二、转化与化归思想方法

例3    已知 ，函数 ，若对于 ，不等式 恒成立，试求实数 的取值范围。

[分析]   对于 ，不等式 恒成立，

可化为 ，对于 恒成立，

所以 ，解得

[小结]   本题利用主元与参变量的关系，视参变量 为主元（即变量与主元的角色换位），将关于 的不等式转化为关于 的不等式，从而将问题化为熟悉的，简单的问题，是典型的转化与化归思想方法。

例4    设数列 中 ，试求通项公式

[分析]   用 代替 ，把数列递推关系进行变形，化为熟悉的问题来解决。

      令 ，则

        代入递推关系得 ，即

          

             

       令    则 ，

故 ，

故

[小结]     本题采用换元的方法，把关于数列 的递推式化为数列 递推式，再构造数列 ，求出 的通项公式，从而求出 ，利用构造法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决，是转化与化归思想方法的运用

三、函数与方程思想方法

例5    方程 有解，求实数 的范围。

[分析]   先分离参数 ，再构造函数 ，

即 ，方程有解即为 在 的值域范围内，

令 ，则

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