反比例函数中常见错误分析

反比例函数中常见错误分析

王  英

（克拉玛依市第一中学，新疆  克拉玛依  834000）

摘  要：直观清晰的解读反比例函数的概念，在例题解析中熟练运用常用方法，避免错误重复出现，提高学习效率，巩固基础知识。

关键词：反比例函数；基本概念；常用方法

反比例函数是学习函数中非常重要的一个环节，对学生进一步学习函数知识起到了承前启后的作用。它既不像一次函数那样比较浅显易懂便于掌握，也没有二次函数甚至多元函数那样复杂繁琐。但是不能因此而轻视它，不光是因为它一直作为中学学科乃至升学考试中的必考内容而存在，更是因为它与其他函数的关联性使得它出现在题目中会有较强的迷惑性，导致解答过程中极易出现错误。本文将从基本概念出发，深入解析部分代表性强的题目，展示常用方法，为广大学生学好反比例函数提供一定参考和帮助。

一、反比例函数的基本概念

（一）定义及表达式

（k为常数且 ）叫做反比例函数，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在1、3象限。k小于0时，图像在2、4象限。

在实际解题的过程中我们可以灵活应用概念的互推性质。我们可以用定义式来确定变量的值。例如当m=（ ）时，函数 是反比例函数。由反比例函数定义可知，x的指数是-1，即 ，解 。其实这正是进入了一个误区。在反比例函数中既要满足的指数为-1，也要满足 ，本题未考虑到这一点。正解： 且 ，综合解得 。还可以反过来，根据给定的数值，确定解析式。例如已知反比例函数的图象经过点（－3，1），求此函数的解析式。根据基本定义可知反比例函数的解析式，且因为点（－3，1）在反比例函数的图象上，所以直接将这个点的坐标代入反比例函数的解析式，得 k= -3， 由此可得这个反比例函数的解析式。特别要注意的是，不能将反比例关系与反比例函数相互混淆。导致概念不清就容易出错。举例：若y与 x-1成反比例，且当x=3时，y=4，则y与x之间的关系是(   )   

A、成正比例 B、反比例函数  C、一次函数 D、以上都不对

此时如果不清楚反比例函数的基本定义，就会错选B。这题目把反比例关系与反比例函数进行混淆，成反比例关系但不一定是反比例函数，但反比例函数一定是成反比例关系。这样清楚概念后，可解得答案为D

（二）函数图象

反比例函数的图像用文字可以概述为以原点为对称中心的中心对称的双曲线。图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交。关于它的画法也很简单，根据给定的各个数值，在平面直角坐标系中标出相应的点，用平滑的线将它们一一对应连接起来，可以从图形上得出结论：当双曲线在一三象限，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小。当双曲线在二四象限，k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大。而当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

（三）比例系数

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

（四）函数性质

1、单调性

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

2、相交性

因为在定义解析式中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

3、对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。所以，它的图象的对称轴是：如果图象在一、三象限，则对称轴为二、四象限的角平分线y=-x，如果图象在二、四象限，则对称轴为一、三象限的角平分线y=x。对函数性质也要摸清摸透。如：在函数y=a²+1/x的图像上有三点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)且 x₁<x₂<0<x₃，，则函数值 y₁，y₂ ，y₃的大小关系是什么。由于题目中给出的是反比例函数，k=(a²+1)<0，即y随x的增大而增大；又有条件x₁<x₂<0<x₃，可以得出y₁<y₂<y₃ 其实在运用反比例函数的性质时，要特别注意“在每个象限内”讨论y随x的变化。而题目给出的三个点并不在同一象限内，不能得出y₁<y₂<y₃ 正确答案应该是：k=(a²+1)<0为已知条件，可得函数图像在第二、四象限内，且在每一个象限内，y随x的增 大而增大，又因题中给出x₃>0可知y₃<0而x₁<x₂<0所以O<y₁<y₂ 综上所述可得y₃<y₁<y₂ .

二、常用方法举例

反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程，t²+3t+k=0的两根双曲线，且P到原点的距离为 ，求该反比例函数的解析式。分析可得求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程。

∵m, n是关于t的方程t²+3t+k=0的两根双曲线，∴m+n=-3，mn=k.

又∵po= ，∴ ， ，∴9-2k=13． k= -2

当 k=-2时， =9+2>0，k=-2符合条件，该反比例函数的解析式为mn=-2.

三、总结

总之，掌握反比例函数的关键就在于要清晰明确它的基本概念和定义，熟练了解它的图形和函数性质，在计算题目时一定要仔细认真考虑所有条件，保证少出错，不出错，为进一步学习数学知识奠定良好的基础。

参考文献：

[1]陈松,娄全福.学习反比例函数常见错误研究[J].数学大世界,2011,(12).

[2]陈松.反比例函数常见错误探讨[J].课程教育研究,2011,(6).